Encontre a derivada da função dada usando a definição e estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
A questão pede para derivar a função
usando a definição de derivada por limite e ainda descobrir o domínio de
e de
. Vamos aplicar o conceito de quociente incremental e as regras de álgebra para simplificar o limite.
Passo 2
Antes de tudo, identificamos onde
está definida. A expressão
só faz sentido para
. Logo, escrevemos o quociente de diferença de acordo com a definição:
Passo 3
Agora, calculamos o numerador reunindo as frações sobre o mesmo denominador:
Passo 4
Observe que no numerador aparece um fator
, que podemos cancelar com o
do denominador. Depois disso, basta tomar o limite quando
:
Passo 5
Por fim, o domínio de
é onde essa fórmula é válida, ou seja, também
.
Resposta
Função original: domínio
.
Derivada: .
Domínio de :
.
Derivada:
Domínio de