Encontre a derivada da função dada usando a definição e estabeleça os domínios da função e da derivada.
g(x)=1x^2

Passo 1

A questão pede para derivar a função g(x)=tfrac1x^2 usando a definição de derivada por limite e ainda descobrir o domínio de g e de g'. Vamos aplicar o conceito de quociente incremental e as regras de álgebra para simplificar o limite.

Passo 2

Antes de tudo, identificamos onde g(x)=tfrac1x^2 está definida. A expressão 1/x^2 só faz sentido para xneq0. Logo, escrevemos o quociente de diferença de acordo com a definição:

Passo 3

Agora, calculamos o numerador reunindo as frações sobre o mesmo denominador:

Passo 4

Observe que no numerador aparece um fator h, que podemos cancelar com o h do denominador. Depois disso, basta tomar o limite quando hto0:

Passo 5

Por fim, o domínio de g' é onde essa fórmula é válida, ou seja, também xneq0.

Resposta

Função original: domínio Rsetminus0.
Derivada: g'(x)=-tfrac2x^3.
Domínio de g': Rsetminus0.

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