Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
integral1^infty d xx^2(x+1).

Passo 1

A questão pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral1^infty dxx^2(x+1)
e, em caso positivo, calcular seu valor. Vamos usar a definição de integral imprópria em intervalo infinito, decomposição em frações parciais e cálculo de antiderivada.

Passo 2

Primeiro, expressamos a integral como limite de uma integral definida num intervalo finito:
integral1^infty dxx^2(x+1) = limttoinfty integral1^t dxx^2(x+1)
Isso serve para testar convergência analisando o comportamento quando o limite superior vai a infinito.

Passo 3

Para integrar, fazemos frações parciais: escrevemos
1x^2(x+1) = Ax + Bx^2 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por x^2(x+1), obtemos
1 = A,x(x+1) + B(x+1) + Cx^2
Expandindo e igualando coeficientes em x^2,x, e termo constante, achamos
A + C = 0, A + B = 0, B = 1,
de onde A=-1, B=1, C=1.

Passo 4

Agora a integral vira soma de termos fáceis:
integral dxx^2(x+1) = integrall(-1x + 1x^2 + 1x+1r)dx
As antiderivadas são
integral -1xdx = -ln x, integral 1x^2dx = -1x, integral 1x+1dx = ln(x+1)
Logo, uma primitiva é
F(x) = -ln x - 1x + ln(x+1)

Passo 5

Por fim, avaliamos o limite
limttoinftyl[F(t)-F(1)r] = limttoinftyl(-ln t - tfrac1t+ln(t+1)r) -l(-ln1 -1+ln2r)
Como -ln t+ln(t+1)to0 e 1/tto0, sobra
0 - (0 -1 +ln2) = 1-ln2
Isso mostra que a integral converge e tem esse valor.

Resposta

A integral converge e vale 1 - ln 2.

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