Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
.
Passo 1
A questão pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, em caso positivo, calcular seu valor. Vamos usar a definição de integral imprópria em intervalo infinito, decomposição em frações parciais e cálculo de antiderivada.
Passo 2
Primeiro, expressamos a integral como limite de uma integral definida num intervalo finito:
Isso serve para testar convergência analisando o comportamento quando o limite superior vai a infinito.
Passo 3
Para integrar, fazemos frações parciais: escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Expandindo e igualando coeficientes em
e termo constante, achamos
de onde
.
Passo 4
Agora a integral vira soma de termos fáceis:
As antiderivadas são
Logo, uma primitiva é
Passo 5
Por fim, avaliamos o limite
Como
e
, sobra
Isso mostra que a integral converge e tem esse valor.
Resposta
A integral converge e vale
.