Resolva as equações diferenciais ordinárias.
x d y-y d x=\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dy - y\,dx = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx
que pode ser reescrita dividindo tudo por dx como
x\frac{dy}{dx}-y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
Esse tipo de equação é homogênea (os termos em x,y têm o mesmo grau), então vamos usar a substituição
y = u\,x
para reduzir a uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Com y=u\,x temos
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}\,.
Substituindo na equação original:
x\Bigl(u + x\frac{du}{dx}\Bigr)-u\,x = \sqrt{x^{2}+(u\,x)^{2}}
x\,u + x^{2}\frac{du}{dx}-x\,u = x\sqrt{1+u^{2}}
logo
x^{2}\frac{du}{dx}=x\sqrt{1+u^{2}}\,.

Passo 3

Simplificando x\neq 0:
x\frac{du}{dx}=\sqrt{1+u^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=\frac{dx}{x}\,,
uma equação de variáveis separáveis.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}} = \int \frac{dx}{x}
\operatorname{arcsinh}(u)=\ln\lvert x\rvert + C\,.

Passo 5

Voltando a u=y/x, a solução geral implícita é
\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)-\ln\lvert x\rvert = C.
Em forma explícita alternativa, note que \exp(\operatorname{arcsinh}t)=t+\sqrt{1+t^{2}},
então
\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}} =K\,x \quad\Longrightarrow\quad y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=K\,x^{2},
com K=e^{C} constante arbitrária.

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
\boxed{\operatorname{arcsinh}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)-\ln\lvert x\rvert = C}
ou, de modo equivalente, por
\boxed{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=K\,x^{2},}
com C ou K constantes de integração.

Exercícios relacionados