Resolva as equações diferenciais ordinárias.
x d x+y d y=\frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x\,dx + y\,dy \;=\; \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2 + y^2}.
Aqui vemos uma relação entre x, y e suas diferenciais. Uma ideia clássica é usar coordenadas polares, pois aparecem os termos x^2+y^2, x\,dx+y\,dy e x\,dy-y\,dx, que têm fórmulas simples em polar.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
Nessas coordenadas vale
x\,dx + y\,dy = r\,dr,
x\,dy - y\,dx = r^2\,d\theta,
x^2 + y^2 = r^2.
Substituindo na EDO original, obtemos
r\,dr \;=\;\frac{r^2\,d\theta}{r^2} \;\Longrightarrow\; r\,dr = d\theta.

Passo 3

Agora separamos variáveis e integramos:
\int r\,dr = \int d\theta \;\Longrightarrow\; \frac{r^2}{2} = \theta + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e voltando a x,y (lembre que r^2 = x^2 + y^2 e \theta = \arctan(y/x)), achamos
r^2 = 2\theta + C' \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 = 2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)+C',
com C'=2C.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{x^2 + y^2 \;-\; 2\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \text{constante}.}

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