(10) Vale a igualdade
( )Verdadeiro ( )Falso
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma integral definida de uma função
multiplicada por
de 0 a 30 e afirma que essa integral é igual a zero. Nosso objetivo é verificar se essa igualdade é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de funções trigonométricas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que a função seno tem um período, que é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa. A fórmula do período
de
é
. No nosso caso,
, então:
Isso significa que o período da função
é 10.
Passo 3
Agora, vamos considerar o intervalo de integração, que vai de 0 a 30. Sabendo que o período é 10, o intervalo de 30 corresponde a 3 períodos completos da função seno (porque
).
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função seno completa ao longo de seu período é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Matematicamente:
Como temos 3 períodos, a integral total também será zero:
Passo 5
No entanto, na nossa integral original, temos
multiplicando o seno. A igualdade
só é garantida se
for uma função que, quando multiplicada pelo seno, mantém essa propriedade de cancelar as áreas positivas e negativas.
Passo 6
Sem informações adicionais sobre
, não podemos assumir que isso ocorrerá necessariamente. Se
for constante, por exemplo, a igualdade seria verdadeira. Mas se
variar de forma que não preserve o cancelamento das áreas, a integral pode não ser zero.
Resposta
Falso.