(10) Vale a igualdade
integral0^30 f(x) sin (pi x5) d x=0
( )Verdadeiro ( )Falso

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma integral definida de uma função multiplicada por de 0 a 30 e afirma que essa integral é igual a zero. Nosso objetivo é verificar se essa igualdade é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais de funções trigonométricas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função T = 2pipi5 = 10 . Sabemos que a função seno tem um período, que é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa. A fórmula do período de é . No nosso caso, , então:
Isso significa que o período da função é 10.

Passo 3

Agora, vamos considerar o intervalo de integração, que vai de 0 a 30. Sabendo que o período é 10, o intervalo de 30 corresponde a 3 períodos completos da função seno (porque ).

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função seno completa ao longo de seu período é zero, porque as áreas positivas e negativas se cancelam. Matematicamente:
integral0^T sin(pi x5) dx = 0
Como temos 3 períodos, a integral total também será zero:
integral0^30 sin(pi x5) dx = 0

Passo 5

No entanto, na nossa integral original, temos multiplicando o seno. A igualdade só é garantida se for uma função que, quando multiplicada pelo seno, mantém essa propriedade de cancelar as áreas positivas e negativas.

Passo 6

Sem informações adicionais sobre , não podemos assumir que isso ocorrerá necessariamente. Se for constante, por exemplo, a igualdade seria verdadeira. Mas se variar de forma que não preserve o cancelamento das áreas, a integral pode não ser zero.

Resposta

Falso.

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