[10.] Verificar por substituição que \varphi(t)=4 e^{-t} \operatorname{senh} t e \psi(t)=2-2 e^{-2 t} são ambas soluções do problema de valor inicial,
u^{\prime}+2 u=4, \quad u(0)=0, \quad \text { em } \quad I \subseteq \mathbb{R}
Será que isso contradiz o teorema que diz a respeito de solução geral. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e duas funções candidatas:
u'(t)+2u(t)=4,\qquad u(0)=0,
e as funções
\varphi(t)=4e^{-t}\operatorname{sinh} t,\qquad \psi(t)=2-2e^{-2t}.
O pedido é: verificar por substituição que \varphi e \psi satisfazem a equação diferencial e a condição inicial, e decidir se isso contradiz o teorema da solução única, justificando a resposta.

Passo 2

Verificação para \varphi. Vou calcular \varphi'(t) passo a passo usando a regra do produto e a derivada de \operatorname{sinh} t:
\varphi(t)=4e^{-t}\operatorname{sinh} t.
Derivando:
\varphi'(t)=4\big((e^{-t})'\operatorname{sinh} t + e^{-t}(\operatorname{sinh} t)'\big).
Agora (e^{-t})'=-e^{-t} e (\operatorname{sinh} t)'=\operatorname{cosh} t, então
\varphi'(t)=4\big(-e^{-t}\operatorname{sinh} t + e^{-t}\operatorname{cosh} t\big)=4e^{-t}\big(-\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t\big).
Calculo \varphi'(t)+2\varphi(t):
\varphi'(t)+2\varphi(t)=4e^{-t}\big(-\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t\big)+2\cdot 4e^{-t}\operatorname{sinh} t.
Agrupando termos dentro do colchete:
\varphi'(t)+2\varphi(t)=4e^{-t}\big(-\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t+2\operatorname{sinh} t\big)=4e^{-t}\big(\operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t\big).
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{sinh} t+\operatorname{cosh} t=e^{t}, obtemos
\varphi'(t)+2\varphi(t)=4e^{-t}\cdot e^{t}=4.
Portanto \varphi satisfaz a equação diferencial. Verificando a condição inicial:
\varphi(0)=4e^{0}\operatorname{sinh} 0=4\cdot 1\cdot 0=0,
logo \varphi(0)=0. Assim \varphi satisfaz tanto a EDO quanto u(0)=0.

Passo 3

Verificação para \psi. Escrevo \psi e calculo a derivada:
\psi(t)=2-2e^{-2t}.
Derivando:
\psi'(t)=-2\cdot(-2)e^{-2t}=4e^{-2t}.
Agora somo:
\psi'(t)+2\psi(t)=4e^{-2t}+2\big(2-2e^{-2t}\big)=4e^{-2t}+4-4e^{-2t}=4.
Portanto \psi satisfaz a EDO. Verificando a condição inicial:
\psi(0)=2-2e^{0}=2-2\cdot 1=0,
logo \psi(0)=0. Assim \psi também satisfaz a EDO e a condição inicial.

Passo 4

Mostrar que \varphi e \psi são na verdade a mesma função (por isso não há duas soluções diferentes). Usando a definição de \operatorname{sinh} t:
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Então
\varphi(t)=4e^{-t}\operatorname{sinh} t=4e^{-t}\cdot\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}=2\big(1-e^{-2t}\big)=2-2e^{-2t}=\psi(t).
Logo \varphi\equiv\psi para todo t.

Passo 5

Lembrete do teorema de unicidade (versão pertinente): para a equação linear de primeira ordem
u'(t)+p(t)u(t)=g(t),
se p e g são contínuas num intervalo I que contém o ponto inicial t_0, então existe uma única solução u definida em I que satisfaz a condição inicial u(t_0)=u_0. No nosso caso temos p(t)=2 e g(t)=4, que são contínuas em toda \mathbb{R}, portanto a solução com u(0)=0 é única.

Passo 6

Conclusão: ambas as funções dadas satisfazem a EDO e a condição inicial, mas isso não contradiz o teorema da solução única porque \varphi e \psi são exatamente a mesma função. Portanto há apenas uma solução (escrita de duas formas equivalentes).

Resposta

\varphi e \psi são soluções do problema de valor inicial e não há contradição com o teorema de unicidade, pois \varphi(t)=4e^{-t}\operatorname{sinh} t\equiv 2-2e^{-2t}=\psi(t) (ou seja, são a mesma função).

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