[10.] Verificar por substituição que
e
são ambas soluções do problema de valor inicial,
Será que isso contradiz o teorema que diz a respeito de solução geral. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e duas funções candidatas:
e as funções
O pedido é: verificar por substituição que
e
satisfazem a equação diferencial e a condição inicial, e decidir se isso contradiz o teorema da solução única, justificando a resposta.
Passo 2
Verificação para
. Vou calcular
passo a passo usando a regra do produto e a derivada de
:
Derivando:
Agora
e
, então
Calculo
:
Agrupando termos dentro do colchete:
Usando a identidade hiperbólica
, obtemos
Portanto
satisfaz a equação diferencial. Verificando a condição inicial:
logo
. Assim
satisfaz tanto a EDO quanto
.
Passo 3
Verificação para
. Escrevo
e calculo a derivada:
Derivando:
Agora somo:
Portanto
satisfaz a EDO. Verificando a condição inicial:
logo
. Assim
também satisfaz a EDO e a condição inicial.
Passo 4
Mostrar que
e
são na verdade a mesma função (por isso não há duas soluções diferentes). Usando a definição de
:
Então
Logo
para todo
.
Passo 5
Lembrete do teorema de unicidade (versão pertinente): para a equação linear de primeira ordem
se
e
são contínuas num intervalo
que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução
definida em
que satisfaz a condição inicial
. No nosso caso temos
e
, que são contínuas em toda
, portanto a solução com
é única.
Passo 6
Conclusão: ambas as funções dadas satisfazem a EDO e a condição inicial, mas isso não contradiz o teorema da solução única porque
e
são exatamente a mesma função. Portanto há apenas uma solução (escrita de duas formas equivalentes).