Encontre as soluções dos seguintes PVIs
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede a solução que satisfaça a condição inicial:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea.
- A incógnita é a função
. - A condição inicial é
.
O que será encontrado: a funçãoque satisfaz a equação diferencial para todo (no domínio implícito, geralmente ) e que também satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, comparando com
, temos
Explicação didática do que significam
e
:
é o coeficiente da função
quando a equação é colocada na forma
;
é a “força externa” (termo não homogêneo) que gera soluções particulares.
Passo 3
Apresentação do método que vamos usar — fator integrante — e por quê:
- Para uma equação da forma
, multiplica-se tudo por um fator chamado fator integrante tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto . Esse é dado por
Aqui
, então calculamos o fator integrante:
Breve motivo: escolher
faz com que
’
, exatamente o que precisamos para combinar
e
em uma única derivada.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
. Verificação explícita:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em
. A integral da derivada do produto dá o próprio produto mais uma constante:
Calcule a integral à direita explicitamente:
Logo
Isolando
, multiplicamos por
:
Aqui
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para achar
. Substituímos
em
:
Como
, obtemos
Passo 7
Substituindo
na expressão geral de
obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
É bom conferir rapidamente: calcule
. Então
e
. Tudo confere.