Encontre as soluções dos seguintes PVIs
u^{\prime}-2 u=4, u(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) abaixo e pede a solução que satisfaça a condição inicial:
u'(x)-2u(x)=4,\qquad u(0)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea.
  • A incógnita é a função u(x).
  • A condição inicial é u(0)=0.
    O que será encontrado: a função u(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (no domínio implícito, geralmente \mathbb{R}) e que também satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
u'(x)+p(x)u(x)=q(x).
No nosso caso, comparando com u'-2u=4, temos
p(x)=-2,\qquad q(x)=4.
Explicação didática do que significam p(x) e q(x): p(x) é o coeficiente da função u quando a equação é colocada na forma u'+p(x)u=q(x); q(x) é a “força externa” (termo não homogêneo) que gera soluções particulares.

Passo 3

Apresentação do método que vamos usar — fator integrante — e por quê:
  • Para uma equação da forma u'+p(x)u=q(x), multiplica-se tudo por um fator \mu(x) chamado fator integrante tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)u(x). Esse \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=-2, então calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -2\,dx\right)=\exp(-2x)=e^{-2x}.
Breve motivo: escolher \mu(x)=e^{\int p} faz com que \mu u =\mu u' + \mu p u, exatamente o que precisamos para combinar u' e p u em uma única derivada.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}u'(x)-2e^{-2x}u(x)=4e^{-2x}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto \bigl(e^{-2x}u(x)\bigr)'. Verificação explícita:
\bigl(e^{-2x}u(x)\bigr)'=e^{-2x}u'(x)+\bigl(e^{-2x}\bigr)'u(x)=e^{-2x}u'(x)-2e^{-2x}u(x).
Portanto a equação fica
\bigl(e^{-2x}u(x)\bigr)'=4e^{-2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x. A integral da derivada do produto dá o próprio produto mais uma constante:
\int \bigl(e^{-2x}u(x)\bigr)'\,dx = \int 4e^{-2x}\,dx
e^{-2x}u(x)=\int 4e^{-2x}\,dx + C.
Calcule a integral à direita explicitamente:
\int 4e^{-2x}\,dx = 4\int e^{-2x}\,dx = 4\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)=-2e^{-2x}.
Logo
e^{-2x}u(x)=-2e^{-2x}+C.
Isolando u(x), multiplicamos por e^{2x}:
u(x)=-2 + C e^{2x}.
Aqui C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial u(0)=0 para achar C. Substituímos x=0 em u(x)=-2+Ce^{2x}:
u(0)=-2 + C e^{0} = -2 + C.
Como u(0)=0, obtemos
0=-2+C \quad\Rightarrow\quad C=2.

Passo 7

Substituindo C=2 na expressão geral de u(x) obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
u(x)=-2 + 2e^{2x}=2\bigl(e^{2x}-1\bigr).
É bom conferir rapidamente: calcule u'(x)=2\cdot 2 e^{2x}=4e^{2x}. Então
u'(x)-2u(x)=4e^{2x}-2\cdot 2(e^{2x}-1)=4e^{2x}-4e^{2x}+4=4,
e u(0)=2(e^{0}-1)=0. Tudo confere.

Resposta

u(x)=2\bigl(e^{2x}-1\bigr)

Exercícios relacionados