Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
x^{\prime}=x t+2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x' = x\,t + 2x,
onde x é função de t e x'=\dfrac{dx}{dt}. A pergunta é: essa equação é separável?

Passo 2

Definição e ideia prática (mini-aula):
Uma equação de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
\frac{dx}{dt} = g(t)\,h(x),
ou seja, quando o lado direito é produto de uma função que depende só de t por outra que depende só de x. Se for possível colocar todos os termos com x de um lado e todos os termos com t do outro, podemos integrar cada lado separadamente. Exemplo simples: \dfrac{dx}{dt}=t\cdot x é separável porque é g(t)=t e h(x)=x.

Passo 3

Aplicando a ideia à equação dada: factorizar o lado direito se necessário. O lado direito é
x\,t + 2x.
Fatorando x em evidência:
x\,t + 2x = x\,(t+2).
Agora o lado direito aparece como produto de algo que depende só de t por algo que depende só de x.

Passo 4

Colocando na forma padrão de separação: como
\frac{dx}{dt} = x\,(t+2),
podemos reescrever movendo os fatores para separar variáveis:
\frac{1}{x}\,dx = (t+2)\,dt.
Observação importante de rigor: dividir por x exige considerar separadamente a solução x\equiv 0. Essa solução constante é válida (substituindo dá 0=0). A divisão por x trata agora das soluções não identicamente zero.

Passo 5

Integrar ambos os lados (mini-aula sobre integrais que uso aqui):
  • Integral de \dfrac{1}{x}\,dx é \ln|x| porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}.
  • Integral de (t+2)\,dt é \dfrac{t^{2}}{2}+2t porque \dfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}\bigr)=t e \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
Então integramos:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int (t+2)\,dt
resultando em
\ln|x| = \frac{t^{2}}{2} + 2t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando para isolar x:
|x| = e^{\frac{t^{2}}{2}+2t+C} = e^{C}\,e^{\frac{t^{2}}{2}+2t}.
Chamando C_1=e^{C} (constante positiva) e permitindo sinal, a forma geral é
x(t) = C\,e^{\frac{t^{2}}{2}+2t},
onde C\in\mathbb{R} (inclui C=0 que recupera a solução trivial x\equiv0).

Passo 6

Resumo da solução (mini-conclusão didática): a equação pôde ser colocada na forma produto g(t)h(x) ao fatorar x. Isso permitiu separar variáveis, integrar e obter a solução geral acima. Sempre lembrar de checar a solução trivial que foi excluída temporariamente ao dividir por x.

Resposta

Separável; solução geral \displaystyle x(t)=C\,e^{\frac{t^{2}}{2}+2t} com C\in\mathbb{R}.

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