Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
é função de
e
. A pergunta é: essa equação é separável?
Passo 2
Definição e ideia prática (mini-aula):
Uma equação de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
Uma equação de primeira ordem é chamada separável quando pode ser escrita na forma
ou seja, quando o lado direito é produto de uma função que depende só de
por outra que depende só de
. Se for possível colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, podemos integrar cada lado separadamente. Exemplo simples:
é separável porque é
e
.
Passo 3
Aplicando a ideia à equação dada: factorizar o lado direito se necessário. O lado direito é
Fatorando
em evidência:
Agora o lado direito aparece como produto de algo que depende só de
por algo que depende só de
.
Passo 4
Colocando na forma padrão de separação: como
podemos reescrever movendo os fatores para separar variáveis:
Observação importante de rigor: dividir por
exige considerar separadamente a solução
. Essa solução constante é válida (substituindo dá
). A divisão por
trata agora das soluções não identicamente zero.
Passo 5
Integrar ambos os lados (mini-aula sobre integrais que uso aqui):
- Integral de
é porque a derivada de é . - Integral de
é porque e .
Então integramos:
resultando em
onde
é constante de integração. Exponenciando para isolar
:
Chamando
(constante positiva) e permitindo sinal, a forma geral é
onde
(inclui
que recupera a solução trivial
).
Passo 6
Resumo da solução (mini-conclusão didática): a equação pôde ser colocada na forma produto
ao fatorar
. Isso permitiu separar variáveis, integrar e obter a solução geral acima. Sempre lembrar de checar a solução trivial que foi excluída temporariamente ao dividir por
.
Resposta
Separável; solução geral
com
.