[9.] Mostre por substitução que
u(t)=\left[A(p+w)^{-1} e^{(p+w) t}+K\right] e^{-p t}
é una solução da equação
u^{\prime}+p u=A e^{w t}, \quad p \neq-w

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para mostrar, por substituição, que a função
u(t)=\left[A(p+w)^{-1} e^{(p+w) t}+K\right] e^{-p t}
é uma solução da equação diferencial
u^{\prime}+p u=A e^{w t},
com a condição \,p\neq -w.
  • Informações fornecidas (a partir do enunciado):
    • A, K, p e w são constantes (independentes de t).
    • A condição \,p\neq -w garante que o fator (p+w)^{-1} está bem definido (não há divisão por zero).
  • Meta concreta: calcular u^{\prime}(t), substituir u e u^{\prime} na equação u^{\prime}+p u e mostrar que o resultado é exatamente A e^{w t}.

Passo 2

Preparar a derivação e rever regras usadas (pequena aula):
  • Regra do produto: se f(t) e g(t) são diferenciáveis então
(fg)' = f'g + fg'.
  • Derivada da exponencial: para constante a vale
\frac{d}{dt} e^{a t} = a e^{a t}.
  • Aplicação aqui: definimos a função interna
S(t)=\left[A(p+w)^{-1} e^{(p+w)t}+K\right].
Então u(t)=S(t)\,e^{-p t}. Vamos primeiro calcular S'(t).
Cálculo de S'(t):
S'(t)=\frac{A}{p+w}\cdot\frac{d}{dt}e^{(p+w)t} + \frac{d}{dt}K.
Como K é constante, \dfrac{d}{dt}K=0. Usando a regra da exponencial,
\frac{d}{dt}e^{(p+w)t}=(p+w)e^{(p+w)t}.
Portanto
S'(t)=\frac{A}{p+w}\cdot (p+w)e^{(p+w)t}=A e^{(p+w)t},
onde o fator (p+w) cancela com o denominador (p+w) — aqui é essencial que p+w\neq 0.

Passo 3

Calcular u'(t) usando a regra do produto:
Aplicando (fg)'=f'g+fg' com f=S(t) e g=e^{-p t},
u'(t)=S'(t)\,e^{-p t}+S(t)\,\frac{d}{dt}e^{-p t}.
A derivada de e^{-p t} é -p e^{-p t}. Substituindo S'(t)=A e^{(p+w)t} obtido no passo anterior,
u'(t)=A e^{(p+w)t} e^{-p t} - p\,S(t)\,e^{-p t}.
Agora simplificamos o produto de expoentes:
e^{(p+w)t} e^{-p t}=e^{(p+w-p)t}=e^{w t}.
Logo
u'(t)=A e^{w t} - p\,S(t)\,e^{-p t}.

Passo 4

Calcular p\,u(t) e somar com u'(t):
Recordando u(t)=S(t)\,e^{-p t}, temos
p\,u(t)=p\,S(t)\,e^{-p t}.
Somando u'(t) e p\,u(t):
u'(t)+p\,u(t)=\big(A e^{w t} - p\,S(t)\,e^{-p t}\big) + p\,S(t)\,e^{-p t}.
Os termos -p\,S(t)\,e^{-p t} e +p\,S(t)\,e^{-p t} cancelam, sobrando
u'(t)+p\,u(t)=A e^{w t}.
Isso mostra exatamente que a função u(t) satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 5

Observações finais e interpretação rápida:
  • A condição \,p\neq -w foi usada para garantir que (p+w)^{-1} existe — sem isso a expressão para u(t) não estaria bem definida.
  • Uma escrita alternativa, obtida multiplicando a expressão interna por e^{-p t}, é
u(t)=\frac{A}{p+w}e^{w t}+K e^{-p t},
que mostra explicitamente a soma de uma solução particular \dfrac{A}{p+w}e^{w t} e da solução geral da homogênea K e^{-p t}. Mas a verificação por substituição feita acima é suficiente e completa.

Resposta

A função \,u(t)=\left[\dfrac{A}{p+w} e^{(p+w) t}+K\right] e^{-p t}\, satisfaz \,u'(t)+p\,u(t)=A e^{w t}\, para \,p\neq -w.

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