[9.] Mostre por substitução que
é una solução da equação
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para mostrar, por substituição, que a função
é uma solução da equação diferencial
com a condição
.
- Informações fornecidas (a partir do enunciado):
-
, , e são constantes (independentes de ). - A condição
garante que o fator está bem definido (não há divisão por zero).
-
- Meta concreta: calcular
, substituir e na equação e mostrar que o resultado é exatamente .
Passo 2
Preparar a derivação e rever regras usadas (pequena aula):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis então
- Derivada da exponencial: para constante
vale
- Aplicação aqui: definimos a função interna
Então
. Vamos primeiro calcular
.
Cálculo de
:
Como
é constante,
. Usando a regra da exponencial,
Portanto
onde o fator
cancela com o denominador
— aqui é essencial que
.
Passo 3
Calcular
usando a regra do produto:
Aplicando
com
e
,
A derivada de
é
. Substituindo
obtido no passo anterior,
Agora simplificamos o produto de expoentes:
Logo
Passo 4
Calcular
e somar com
:
Recordando
, temos
Somando
e
:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Isso mostra exatamente que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 5
Observações finais e interpretação rápida:
- A condição
foi usada para garantir que existe — sem isso a expressão para não estaria bem definida. - Uma escrita alternativa, obtida multiplicando a expressão interna por
, é
que mostra explicitamente a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
. Mas a verificação por substituição feita acima é suficiente e completa.
Resposta
A função
satisfaz
para
.