[13.] Seja
qualquer solução particular de
e
qualquer solução de sua equação complementar. Mostre que
é uma solução de
.
[14.] Encontre uma expressão para a solução geral de
[15.] Utilizar o fato que
é uma solução de
e o resultado do problema 6.] para encontrar uma solução geral de
.
[14.] Encontre uma expressão para a solução geral de
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações temos:
- Item 13: pede para mostrar que, se
é qualquer solução particular de
e
é qualquer solução da equação complementar (homogênea)
então
é uma solução da equação não-homogênea original.
- Item 14: pede a expressão da solução geral da equação de primeira ordem
onde
é dada (pode ser qualquer função integrável em
).
- Item 15: pede, usando o fato de que
(constante) é solução de
e usando o resultado do problema 6 (que fornece a solução geral da homogênea), encontrar a solução geral da equação acima.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
-
e são funções dadas de . -
é uma solução particular da não-homogênea; isto é, satisfaz . -
é solução da homogênea; isto é, satisfaz . - No item 15 é dado que
(constante) satisfaz . - Do problema 6 (que vamos usar): a solução geral da homogênea
é
onde
é constante arbitrária e
significa qualquer primitiva de
.
Passo 2
Prova direta do item 13 (mostrando que
é solução).
- Defina o operador linear
por . Aqui aplica a qualquer função a combinação . - Pelas hipóteses temos
e
- Calcule
. Como derivada é linear e a multiplicação por também é linear, vale a propriedade
- Conclusão:
satisfaz , logo é solução da equação não-homogênea.
Comentário didático rápido: a razão disso é que a equação é linear — somar uma solução particular com qualquer solução da homogênea não estraga a igualdade porque a parte que vem da homogênea “cancela” (produz zero) no lado esquerdo.
Passo 3
Explicando com calma o conceito usado no passo anterior (para fixar a ideia na prova):
- O operador
é linear porque para quaisquer funções e escalares vale
- Para uma equação linear não-homogênea
, se é uma solução particular ( ) e é solução da homogênea ( ), então por linearidade . Isso é exatamente a propriedade que comprovamos no passo anterior. É a base do método “particular + homogênea” que é padrão para ODEs lineares de primeira ordem.
Passo 4
Início da resolução do item 14: explicando método e objetivo.
- Equação dada:
- Objetivo: encontrar a expressão da solução geral
em . Vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem . Aqui (constante) e .
Passo 5
Derivação do fator integrante e transformação da equação (passo a passo, bem mastigado).
- A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo vire a derivada de . - Queremos
tal que
- Comparando os dois lados vemos que precisamos de
. Isso é uma equação para : . - Resolver
dá constante; podemos escolher a constante zero (qualquer constante multiplicativa só escala a solução), então tomamos
- Observação:
é chamada fator integrante; escolhemos a forma mais simples .
Passo 6
Aplicando o fator integrante e integrando.
- Multiplique a equação original por
:
- Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada exata:
- Agora integramos ambos os lados em
. Seja uma primitiva de ; escrevemos:
onde
é constante arbitrária (constante de integração).
- Finalmente isolamos
:
Isto é a solução geral em
. Aqui
representa qualquer primitiva de
definida no intervalo
.
Passo 7
Interpretação e verificação rápida do item 14.
- A solução geral escrita pode ser vista como soma de termos:
- Termo homogêneo:
(obtido quando ). - Termo particular:
.
- Termo homogêneo:
- Verificação rápida (mental): derivando
na forma acima e substituindo em recupera porque construímos a equação dessa forma com o fator integrante. Isso é útil para a prova: sempre que usar o fator integrante, faça essa verificação se estiver inseguro.
Passo 8
Resolução do item 15 usando o fato dado e o resultado do problema 6.
- Equação:
onde é dado que
(constante) é solução particular. Vamos verificar rapidamente:
- Se
então e , logo . Está confirmado. - Pelas regras do item 13, a solução geral é
- Pelo resultado do problema 6 a solução geral da homogênea
é
onde
é constante arbitrária. (Aqui
é qualquer primitiva de
.)
- Portanto a solução geral da equação do item 15 é
Passo 9
Verificação rápida final do item 15 (para dar segurança na prova):
- Calcule
para . Como é constante, . Para o segundo termo,
- Substituindo em
:
pois os termos com
se cancelam. Isso comprova que a expressão encontrada realmente satisfaz a equação.