[13.] Seja u_{p}(t) qualquer solução particular de u^{\prime}+p(t) u=f(t) e u_{h}(t) qualquer solução de sua equação complementar. Mostre que u_{p}(t)+u_{h}(t) é uma solução de u^{\prime}+p(t) u=f(t).
[14.] Encontre uma expressão para a solução geral de
u^{\prime}+2 u=f(t) \quad \text { no intervalo } \quad I \subseteq \mathbb{R}
[15.] Utilizar o fato que u_{p}(t)=a é uma solução de u^{\prime}+p(t) u=a p(t) e o resultado do problema 6.] para encontrar uma solução geral de u^{\prime}+p(t) u=a p(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações temos:
  • Item 13: pede para mostrar que, se u_{p}(t) é qualquer solução particular de
u'+p(t)u=f(t)
e u_{h}(t) é qualquer solução da equação complementar (homogênea)
u'+p(t)u=0,
então u_{p}(t)+u_{h}(t) é uma solução da equação não-homogênea original.
  • Item 14: pede a expressão da solução geral da equação de primeira ordem
u'+2u=f(t)\quad\text{no intervalo }I\subseteq\mathbb{R},
onde f(t) é dada (pode ser qualquer função integrável em I).
  • Item 15: pede, usando o fato de que u_{p}(t)=a (constante) é solução de
u'+p(t)u = a\,p(t)
e usando o resultado do problema 6 (que fornece a solução geral da homogênea), encontrar a solução geral da equação acima.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • p(t) e f(t) são funções dadas de t.
  • u_p(t) é uma solução particular da não-homogênea; isto é, u_p satisfaz \,u_p'+p(t)u_p=f(t).
  • u_h(t) é solução da homogênea; isto é, u_h satisfaz \,u_h'+p(t)u_h=0.
  • No item 15 é dado que u_p(t)=a (constante) satisfaz \,u'+p(t)u=a\,p(t).
  • Do problema 6 (que vamos usar): a solução geral da homogênea \,u'+p(t)u=0 é
u_h(t)=C\,e^{-\int p(t)\,dt},
onde C é constante arbitrária e \int p(t)\,dt significa qualquer primitiva de p.

Passo 2

Prova direta do item 13 (mostrando que u_p+u_h é solução).
  • Defina o operador linear L por L[u]=u'+p(t)u. Aqui L aplica a qualquer função u(t) a combinação u'(t)+p(t)u(t).
  • Pelas hipóteses temos
L[u_p]=u_p'+p(t)u_p=f(t)
e
L[u_h]=u_h'+p(t)u_h=0.
  • Calcule L[u_p+u_h]. Como derivada é linear e a multiplicação por p(t) também é linear, vale a propriedade
L[u_p+u_h]=L[u_p]+L[u_h]=f(t)+0=f(t).
  • Conclusão: u_p+u_h satisfaz u'+p(t)u=f(t), logo é solução da equação não-homogênea.
Comentário didático rápido: a razão disso é que a equação é linear — somar uma solução particular com qualquer solução da homogênea não estraga a igualdade porque a parte que vem da homogênea “cancela” (produz zero) no lado esquerdo.

Passo 3

Explicando com calma o conceito usado no passo anterior (para fixar a ideia na prova):
  • O operador L[u]=u'+p(t)u é linear porque para quaisquer funções u,v e escalares \alpha,\beta vale
L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v].
  • Para uma equação linear não-homogênea L[u]=f, se u_p é uma solução particular ( L[u_p]=f) e u_h é solução da homogênea ( L[u_h]=0), então por linearidade L[u_p+u_h]=f. Isso é exatamente a propriedade que comprovamos no passo anterior. É a base do método “particular + homogênea” que é padrão para ODEs lineares de primeira ordem.

Passo 4

Início da resolução do item 14: explicando método e objetivo.
  • Equação dada:
u'+2u=f(t).
  • Objetivo: encontrar a expressão da solução geral u(t) em I. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem u'+p(t)u=q(t). Aqui p(t)=2 (constante) e q(t)=f(t).

Passo 5

Derivação do fator integrante e transformação da equação (passo a passo, bem mastigado).
  • A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(t) de modo que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t) u(t).
  • Queremos \mu(t) tal que
\big(\mu u\big)'=\mu u'+\mu' u = \mu (u'+2u).
  • Comparando os dois lados vemos que precisamos de \mu'\! = 2\mu. Isso é uma equação para \mu: \mu'/\mu=2.
  • Resolver \mu'/\mu=2 \ln \mu = 2t + constante; podemos escolher a constante zero (qualquer constante multiplicativa só escala a solução), então tomamos
\mu(t)=e^{2t}.
  • Observação: \mu é chamada fator integrante; escolhemos a forma mais simples e^{2t}.

Passo 6

Aplicando o fator integrante e integrando.
  • Multiplique a equação original por \mu(t)=e^{2t}:
e^{2t}u' + 2e^{2t}u = e^{2t} f(t).
  • Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada exata:
\big(e^{2t}u\big)' = e^{2t} f(t).
  • Agora integramos ambos os lados em t. Seja F(t) uma primitiva de e^{2t}f(t); escrevemos:
e^{2t}u(t) = \int e^{2t} f(t)\,dt + C,
onde C é constante arbitrária (constante de integração).
  • Finalmente isolamos u(t):
u(t) = e^{-2t}\left(C + \int e^{2t} f(t)\,dt\right).
Isto é a solução geral em I. Aqui \int e^{2t} f(t)\,dt representa qualquer primitiva de e^{2t}f(t) definida no intervalo I.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida do item 14.
  • A solução geral escrita pode ser vista como soma de termos:
    • Termo homogêneo: u_h(t)=C e^{-2t} (obtido quando f(t)\equiv0).
    • Termo particular: u_p(t)=e^{-2t}\displaystyle\int e^{2t} f(t)\,dt.
  • Verificação rápida (mental): derivando u(t) na forma acima e substituindo em u'+2u recupera f(t) porque construímos a equação dessa forma com o fator integrante. Isso é útil para a prova: sempre que usar o fator integrante, faça essa verificação se estiver inseguro.

Passo 8

Resolução do item 15 usando o fato dado e o resultado do problema 6.
  • Equação:
u'+p(t)u = a\,p(t),
onde é dado que u_p(t)=a (constante) é solução particular. Vamos verificar rapidamente:
  • Se u_p(t)=a então u_p'(t)=0 e p(t)u_p(t)=p(t)\,a, logo u_p'+p(t)u_p=0 + a p(t)=a p(t). Está confirmado.
  • Pelas regras do item 13, a solução geral é
u(t)=u_p(t)+u_h(t) = a + u_h(t).
  • Pelo resultado do problema 6 a solução geral da homogênea \,u'+p(t)u=0 é
u_h(t)=C\,e^{-\int p(t)\,dt},
onde C é constante arbitrária. (Aqui \int p(t)\,dt é qualquer primitiva de p.)
  • Portanto a solução geral da equação do item 15 é
u(t)=a + C\,e^{-\int p(t)\,dt}.

Passo 9

Verificação rápida final do item 15 (para dar segurança na prova):
  • Calcule u'(t) para u(t)=a + C e^{-\int p}. Como a é constante, a'=0. Para o segundo termo,
\frac{d}{dt}\left(C e^{-\int p(t)\,dt}\right)=C\cdot\big(-p(t)\big)e^{-\int p(t)\,dt}=-p(t)\,C e^{-\int p(t)\,dt}.
  • Substituindo em u'+p(t)u:
u'+p(t)u = -p(t)C e^{-\int p} + p(t)\big(a + C e^{-\int p}\big) = p(t)a,
pois os termos com C e^{-\int p} se cancelam. Isso comprova que a expressão encontrada realmente satisfaz a equação.

Resposta

\text{(13) } u_p(t)+u_h(t) \text{ é solução de } u'+p(t)u=f(t).éçã
\text{(14) } u(t)=e^{-2t}\Big(C+\displaystyle\int e^{2t}f(t)\,dt\Big),\\ \\ C\in\mathbb{R}.
\text{(15) } u(t)=a + C\,e^{-\displaystyle\int p(t)\,dt},\\ \\ C\in\mathbb{R}.

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