Expresse os seguintes números complexos na forma a+b i.
(-1+3 i)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
(-1+3i)^{-1}
na forma a+bi.
O conteúdo aqui é o inverso de um número complexo: se z\neq0,
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{z\,\overline{z}} = \frac{\overline{z}}{\lvert z\rvert^2},
onde \overline{z} é o conjugado de z e \lvert z\rvert^2 = z\,\overline{z}.

Passo 2

Identificamos z = -1+3i. O conjugado é
\overline{z} = -1 - 3i,
e o produto z\,\overline{z} (que é \lvert z\rvert^2) vale
(-1+3i)(-1-3i) = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10.

Passo 3

Aplicando a fórmula do inverso, temos
(-1+3i)^{-1} = \frac{\overline{-1+3i}}{(-1+3i)\,\overline{-1+3i}} = \frac{-1 - 3i}{10}.

Passo 4

Para obter a forma a+bi, separamos a fração em parte real e parte imaginária:
\frac{-1 - 3i}{10} = -\frac{1}{10} - \frac{3}{10}\,i.

Resposta

-\frac{1}{10} - \frac{3}{10}\,i

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