3.2 100 animais foram divididos em dois grupos de 56 e 44 animais. No primeiro grupo, que foi vacinado contra uma determinada doença, 47 animais não adoeceram. No segundo grupo, que não foi vacinado, 28 animais não adoeceram.
a) Construa uma tabela de contingência com os dados acima.
b) Calcule o coeficiente de contingência e o coeficiente de contingência corrigido.
c) Você diria que estes resultados sugerem que a vacina protege contra esta doença? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos 100 animais divididos em dois grupos: 56 foram vacinados (destes, 47 não adoeceram) e 44 não foram vacinados (destes, 28 não adoeceram). O conteúdo é análise de associação em tabela de contingência, usando o qui-quadrado para obter o coeficiente de contingência e, em seguida, o coeficiente corrigido.

Passo 2

Vamos completar as frequências de “adoeceram” e “não adoeceram” em cada grupo e montar a tabela de contingência com as frequências observadas:
\begin{array}{c|cc|c} & \text{Adoeceram} & \text{Não adoeceram} & \text{Total} \\\ \hline \text{Vacinados} & 9 & 47 & 56 \\\ \text{Não vacinados} & 16 & 28 & 44 \\\ \hline \text{Total} & 25 & 75 & 100 \end{array}

Passo 3

Para calcular o qui-quadrado, primeiro achamos as frequências esperadas em cada célula por
E_{ij} = \frac{(\text{total linha }i)\times(\text{total coluna }j)}{n}.
Isso dá
E_{11}=\frac{56\cdot25}{100}=14,\quad E_{12}=\frac{56\cdot75}{100}=42,
E_{21}=\frac{44\cdot25}{100}=11,\quad E_{22}=\frac{44\cdot75}{100}=33.
Agora
\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} =\frac{(9-14)^2}{14}+\frac{(47-42)^2}{42}+\frac{(16-11)^2}{11}+\frac{(28-33)^2}{33} \approx5,41.

Passo 4

O coeficiente de contingência é
C=\sqrt{\frac{\chi^2}{n+\chi^2}} =\sqrt{\frac{5,41}{100+5,41}}\approx0,226.
Para ajustar à dimensão da tabela 2\times2, o valor máximo possível é
C_{\max}=\sqrt{\frac{\min(2,2)-1}{\min(2,2)}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\approx0,707.
Logo, o coeficiente corrigido fica
C_{\text{corr}}=\frac{C}{C_{\max}} \approx\frac{0,226}{0,707}\approx0,320.

Passo 5

A estatística \chi^2\approx5,41 com 1 grau de liberdade excede o valor crítico \chi^2_{0,05;1}=3,84, indicando associação significativa entre vacinação e doença. Além disso, a proporção de animais que não adoeceram é maior entre vacinados 47/56\approx84\% do que entre não vacinados 28/44\approx64\%. Tudo isso sugere que a vacina protege contra a doença.

Resposta

a)
\begin{array}{c|cc|c} & \text{Adoeceram} & \text{Não adoeceram} & \text{Total} \\\ \hline \text{Vacinados} & 9 & 47 & 56 \\\ \text{Não vacinados} & 16 & 28 & 44 \\\ \hline \text{Total} & 25 & 75 & 100 \end{array}
b) C\approx0,226 e C_{\text{corr}}\approx0,320.
c) Sim. A diferença nas proporções de adoecimento é significativa \chi^2>3,84, indicando que a vacina oferece proteção.

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