Questāo 1 (1 ponto) Dê duas soluções para o seguinte problema: quantos números de 5 algarismos distintos possuem o algarismo 3 , mas nāo na última posição?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de cinco algarismos distintos contêm o dígito 3 em alguma das quatro primeiras posições (ou seja, não está na última), e ainda são válidos como número de cinco algarismos (primeiro dígito \neq 0). Vamos usar técnicas de permutações e, no segundo método, o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Método 1 – divisão em casos:
Caso A: o dígito 3 está na primeira posição.
Nesse caso não há risco de o número começar com 0. Sobram 9 dígitos \{0,1,2,4,5,6,7,8,9\} para ocupar, em ordem, as quatro posições restantes. Logo, o número de formas é
P(9,4)=9\times8\times7\times6=3024.
Caso B: o dígito 3 está na posição 2, 3 ou 4 (3 escolhas).
– A primeira posição não pode ser nem 0 nem 3, ficando 8 opções.
– Das 8 opções restantes (excluindo 0 e 3), escolhemos e permutamos 3 dígitos para as três vagas livres entre as posições 2–5 (exceto a ocupada pelo 3). São
P(8,3)=8\times7\times6=336
maneiras.
Para cada uma das 3 posições do 3 temos 8\times336=2688 números, totalizando
3\times2688=8064.

Passo 3

Somando os dois casos do Método 1, obtemos
3024 + 8064 = 11088.

Passo 4

Método 2 – contagem direta e exclusão de inválidos:
Primeiro contamos todos os números com o dígito 3 em uma das quatro primeiras posições, sem nos preocuparmos se começam com 0.
– Escolha da posição do 3: 4 maneiras.
– Permutação dos outros 4 dígitos distintos entre os 9 restantes:
P(9,4)=3024.
Total bruto
4\times3024=12096.

Passo 5

Agora excluímos os casos em que o primeiro dígito ficou 0 e o 3 está em posição 2, 3 ou 4 (não cabe ser posição 1 porque ali seria 3).
– Escolha da posição do 3 em {2,3,4}: 3 maneiras.
– Primeiro dígito fixo =0.
– Permutação dos outros 3 dígitos dentre os 8 restantes:
P(8,3)=336.
Total de inválidos
3\times336=1008.

Passo 6

Subtraindo os inválidos do total bruto, pelo Método 2 temos
12096 - 1008 = 11088.

Resposta

11088 números.

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