Questāo 1 (1 ponto) Dê duas soluções para o seguinte problema: quantos números de 5 algarismos distintos possuem o algarismo 3 , mas nāo na última posição?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números de cinco algarismos distintos contêm o dígito 3 em alguma das quatro primeiras posições (ou seja, não está na última), e ainda são válidos como número de cinco algarismos (primeiro dígito
). Vamos usar técnicas de permutações e, no segundo método, o princípio da inclusão–exclusão.
Passo 2
Método 1 – divisão em casos:
Caso A: o dígito 3 está na primeira posição.
Nesse caso não há risco de o número começar com 0. Sobram 9 dígitos para ocupar, em ordem, as quatro posições restantes. Logo, o número de formas é
Caso A: o dígito 3 está na primeira posição.
Nesse caso não há risco de o número começar com 0. Sobram 9 dígitos
Caso B: o dígito 3 está na posição 2, 3 ou 4 (3 escolhas).
– A primeira posição não pode ser nem 0 nem 3, ficando 8 opções.
– Das 8 opções restantes (excluindo 0 e 3), escolhemos e permutamos 3 dígitos para as três vagas livres entre as posições 2–5 (exceto a ocupada pelo 3). São
– A primeira posição não pode ser nem 0 nem 3, ficando 8 opções.
– Das 8 opções restantes (excluindo 0 e 3), escolhemos e permutamos 3 dígitos para as três vagas livres entre as posições 2–5 (exceto a ocupada pelo 3). São
maneiras.
Para cada uma das 3 posições do 3 temos números, totalizando
Para cada uma das 3 posições do 3 temos
Passo 3
Somando os dois casos do Método 1, obtemos
Passo 4
Método 2 – contagem direta e exclusão de inválidos:
Primeiro contamos todos os números com o dígito 3 em uma das quatro primeiras posições, sem nos preocuparmos se começam com 0.
– Escolha da posição do 3: 4 maneiras.
– Permutação dos outros 4 dígitos distintos entre os 9 restantes:
Primeiro contamos todos os números com o dígito 3 em uma das quatro primeiras posições, sem nos preocuparmos se começam com 0.
– Escolha da posição do 3: 4 maneiras.
– Permutação dos outros 4 dígitos distintos entre os 9 restantes:
Total bruto
Passo 5
Agora excluímos os casos em que o primeiro dígito ficou 0 e o 3 está em posição 2, 3 ou 4 (não cabe ser posição 1 porque ali seria 3).
– Escolha da posição do 3 em {2,3,4}: 3 maneiras.
– Primeiro dígito fixo .
– Permutação dos outros 3 dígitos dentre os 8 restantes:
– Escolha da posição do 3 em {2,3,4}: 3 maneiras.
– Primeiro dígito fixo
– Permutação dos outros 3 dígitos dentre os 8 restantes:
Total de inválidos
Passo 6
Subtraindo os inválidos do total bruto, pelo Método 2 temos