3.1 Um time de futebol está interessado em saber se as condições do tempo tem alguma influência no resultado do jogo. Observaram as condições do tempo durante 65 partidas obtendo os seguintes resultados:
Resultado Tempo Total
Bom Ruim
Venceu 17 5 22
Empatou 6 10 16
Perdeu 4 23 27
Total 27 38 65
a) Calcule o coeficiente de contingência e o coeficiente de contingência corrigido.
b) Com base nos resultados do item a), você diria que as condições do tempo tem um efeito do resultado deste time? Comente.

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela de contingência 3\times 2 com os resultados dos jogos (venceu, empatou, perdeu) em função do tempo (bom, ruim) em 65 partidas. Queremos medir a associação entre tempo e resultado usando o teste qui-quadrado para depois calcular o coeficiente de contingência C e o coeficiente de contingência corrigido C_{\rm corr}.

Passo 2

Primeiro calculamos as frequências esperadas em cada célula usando
E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\,(\text{total da coluna }j)}{N}
onde N=65. Depois usamos
\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}.
Cálculo dos E_{ij} e das contribuições ao \chi^2:
E_{11}=\frac{22\cdot27}{65}\approx9{,}138,\quad \frac{(17-9{,}138)^2}{9{,}138}\approx6{,}764,
E_{12}=\frac{22\cdot38}{65}\approx12{,}862,\quad \frac{(5-12{,}862)^2}{12{,}862}\approx4{,}806,
E_{21}=\frac{16\cdot27}{65}\approx6{,}646,\quad \frac{(6-6{,}646)^2}{6{,}646}\approx0{,}063,
E_{22}=\frac{16\cdot38}{65}\approx9{,}354,\quad \frac{(10-9{,}354)^2}{9{,}354}\approx0{,}045,
E_{31}=\frac{27\cdot27}{65}\approx11{,}215,\quad \frac{(4-11{,}215)^2}{11{,}215}\approx4{,}642,
E_{32}=\frac{27\cdot38}{65}\approx15{,}785,\quad \frac{(23-15{,}785)^2}{15{,}785}\approx3{,}297.
Somando as contribuições,
\chi^2\approx6{,}764+4{,}806+0{,}063+0{,}045+4{,}642+3{,}297\approx19{,}62.

Passo 3

O coeficiente de contingência é
C=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+N}} =\sqrt{\frac{19{,}62}{19{,}62+65}} \approx0{,}482.

Passo 4

Para corrigir C e aproximá-lo de 1, dividimos pelo seu valor máximo
C_{\max}=\sqrt{\frac{k-1}{k}},
onde k=\min(3,2)=2, logo C_{\max}=1/\sqrt2\approx0{,}707. Assim
C_{\rm corr}=\frac{C}{C_{\max}} \approx\frac{0{,}482}{0{,}707}\approx0{,}681.

Passo 5

Um C_{\rm corr}\approx0{,}68 indica associação moderada a forte entre tempo e resultado. Além disso, \chi^2=19{,}62 com df=(3-1)(2-1)=2 gera p\ll0{,}05, rejeitando independência. Portanto, há evidência de que as condições do tempo influenciam o desempenho do time.

Resposta

a) C\approx0,482 e C_{\rm corr}\approx0,681.
b) Sim. O valor de C_{\rm corr} é relativamente alto e o teste \chi^2 é significativo p\ll0,05, indicando que o tempo exerce influência sobre os resultados.

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