3.3 Em uma pesquisa em 4 localidades, \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{e} \mathrm{S}, verificou-se que os preços dos automóveis de 350 pessoas entrevistadas pertenciam a quatro categorias, A, B, C e D. As freqüências observadas foram
Preço Localidade
P Q R S
A 9 10 12 19
B 13 20 18 29
C 24 29 12 25
D 34 41 18 37
a) Encontre as freqüências que seriam esperadas caso não houvesse nenhuma associação entre localidade e preço do automóvel.
b) Calcule o coeficiente de contingência e comente.

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela de contingência com quatro categorias de preço (A, B, C, D) e quatro localidades (P, Q, R, S), totalizando N=350 entrevistas. Precisamos (a) calcular as frequências esperadas sob a hipótese de independência e (b) obter o coeficiente de contingência para medir o grau de associação entre localidade e preço.

Passo 2

Calculemos primeiro os totais marginais.
Soma por categoria (linhas):
\begin{aligned} n_A&=9+10+12+19=50,\\\ n_B&=13+20+18+29=80,\\\ n_C&=24+29+12+25=90,\\\ n_D&=34+41+18+37=130. \end{aligned}
Soma por localidade (colunas):
\begin{aligned} n_P&=9+13+24+34=80,\\\ n_Q&=10+20+29+41=100,\\\ n_R&=12+18+12+18=60,\\\ n_S&=19+29+25+37=110. \end{aligned}

Passo 3

Sob independência, a frequência esperada em cada célula é
E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{N}.
Calculando para cada combinação, obtemos as seguintes frequências esperadas (aproximadas com duas casas decimais):
\begin{array}{c|cccc} & P & Q & R & S \\\ \hline A & 11,43 & 14,29 & 8,57 & 15,71 \\\ B & 18,29 & 22,86 & 13,71 & 25,14 \\\ C & 20,57 & 25,71 & 15,43 & 28,29 \\\ D & 29,71 & 37,14 & 22,29 & 40,86 \\\ \end{array}

Passo 4

Vamos ao qui-quadrado:
\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}.
Somando as 16 contribuições chega-se a
\chi^2\approx12,02.

Passo 5

O coeficiente de contingência é definido por
C=\sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2+N}} =\sqrt{\frac{12,02}{12,02+350}} \approx0,182.
Como C varia de 0 (nenhuma associação) a \sqrt{\frac{k-1}{k}}\approx0,87 (associação máxima para k=4), o valor C\approx0,18 indica uma associação fraca entre localidade e preço do automóvel.

Resposta

(a) Frequências esperadas:
\begin{array}{c|cccc} & P & Q & R & S \\\ \hline A & 11,43 & 14,29 & 8,57 & 15,71 \\\ B & 18,29 & 22,86 & 13,71 & 25,14 \\\ C & 20,57 & 25,71 & 15,43 & 28,29 \\\ D & 29,71 & 37,14 & 22,29 & 40,86 \\\ \end{array}
(b) Coeficiente de contingência
C\approx0,182,
indicando associação fraca entre localidade e preço.

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