3-100 A fish tank that contains 40-\mathrm{cm}-high water is moved in the cabin of an elevator. Determine the pressure at the bot-tom of the tank when the elevator is
moving up with an upward acceleration of 3 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é a pressão no fundo do aquário quando o elevador sobe com aceleração para cima de 3\\ \mathrm{m/s^{2}}?\n
Informações dadas:
  • altura da coluna de água: h = 40\\ \mathrm{cm} (do enunciado);
  • aceleração do elevador para cima: a = 3\\ \mathrm{m/s^{2}} (do enunciado);
  • superfície livre do líquido está aberta ao ar (pressão na superfície é a pressão atmosférica) — o enunciado não diz o contrário, então assumimos isso;
  • precisamos determinar a pressão no fundo do tanque (podemos dar a pressão relativa à atmosfera — pressão manométrica — e a pressão absoluta).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado de forma simples): num referencial acelerado para cima com aceleração a podemos tratar a água como se estivesse sob uma “gravidade efetiva” maior. Isso acontece porque, no referencial do elevador, além do peso (força \rho V g) aparece uma força inercial equivalente a uma aceleração a que age no mesmo sentido do peso (para baixo). Logo a aceleração efetiva que determina a variação de pressão com a profundidade é
g_{\mathrm{ef}} = g + a,
onde
  • \,g é a aceleração da gravidade (tomaremos \,g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • \,a é a aceleração do elevador (aqui \,a = 3\\ \mathrm{m/s^{2}}).\n
    A lei hidrostática (em regime estacionário) diz que a diferença de pressão entre superfície e fundo é
\Delta p = \rho \, g_{\mathrm{ef}} \, h,
onde
  • \rho é a densidade do líquido (água),
  • h é a altura da coluna de líquido.

Passo 3

Valores numéricos e unidades (conversões explícitas):
  • altura: h = 40\\ \mathrm{cm} = 0{,}40\\ \mathrm{m} (convertemos centímetros para metros dividindo por 100);
  • densidade da água (valor padrão): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • gravidade: g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • aceleração do elevador: a = 3{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Calculemos a gravidade efetiva:
g_{\mathrm{ef}} = g + a = 9{,}8 + 3{,}0 = 12{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da pressão manométrica (a diferença de pressão entre fundo e superfície):
\Delta p = \rho\, g_{\mathrm{ef}}\, h.
Substituindo os números, com cálculo passo a passo:
\Delta p = 1000 \times 12{,}8 \times 0{,}40.
Primeiro compute 12{,}8 \times 0{,}40 = 5{,}12. Depois multiplica por 1000:
\Delta p = 5{,}12 \times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 5{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Esta é a pressão adicional no fundo causada pela coluna de água (pressão manométrica).

Passo 6

Se quisermos a pressão absoluta no fundo, somamos a pressão atmosférica à pressão manométrica. Tomando a pressão atmosférica padrão
p_{\mathrm{atm}} = 101\,325\\ \mathrm{Pa},
temos
p_{\mathrm{fundo}} = p_{\mathrm{atm}} + \Delta p = 101\,325 + 5{,}12\times10^{3} = 106\,445\\ \mathrm{Pa}.
Podemos também expressar de forma aproximada em quilopascal:
\Delta p \approx 5{,}12\\ \mathrm{kPa},\qquad p_{\mathrm{fundo}} \approx 106{,}4\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

Pressão manométrica (acima da atmosfera): \,5{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.\n
Pressão absoluta no fundo: \,1{,}06445\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (aprox. \,106{,}4\\ \mathrm{kPa}).

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