100 % 5)
A) Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
x(t)=80,0-6,40 t+0,240 t^2-0,120 t^3
onde t é o tempo e x é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A.1) As funções horárias da velocidade e da aceleração,
A.2) A posição, a velocidade e a aceleração no instante 1,00 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo:
x(t) = 80,0 - 6,40, t + 0,240, t^2 - 0,120, t^3
Aqui, t é o tempo e x é a posição. A gente precisa encontrar:
A.1) As funções da velocidade e da aceleração.
A.2) A posição, a velocidade e a aceleração no instante de 1,00 segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a função da velocidade v(t), a gente precisa derivar x(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função x(t):
  • A derivada de 80,0 é 0, porque é uma constante.
  • A derivada de -6,40, t é -6,40.
  • A derivada de 0,240, t^2 é 2 times 0,240, t = 0,480, t.
  • A derivada de -0,120, t^3 é 3 times -0,120, t^2 = -0,360, t^2.
Então, a função da velocidade fica:
v(t) = -6,40 + 0,480, t - 0,360, t^2

Passo 4

Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar v(t) para encontrar a(t).
Derivando cada termo de v(t):
  • A derivada de -6,40 é 0.
  • A derivada de 0,480, t é 0,480.
  • A derivada de -0,360, t^2 é 2 times -0,360, t = -0,720, t.
Então, a função da aceleração fica:
a(t) = 0,480 - 0,720, t

Passo 5

Agora que temos as funções horárias da posição, da velocidade e da aceleração, vamos para a segunda parte: encontrar esses valores no instante de t = 1,00 segundo.

Passo 6

Primeiro, a posição x(1,00):
Substituindo t = 1,00 na função x(t):
x(1,00) = 80,0 - 6,40 times 1,00 + 0,240 times (1,00)^2 - 0,120 times (1,00)^3
Calculando cada termo:
x(1,00) = 80,0 - 6,40 + 0,240 - 0,120 = 80,0 - 6,40 = 73,60
73,60 + 0,240 = 73,84
73,84 - 0,120 = 73,72 metros

Passo 7

Agora, a velocidade v(1,00):
Substituindo t = 1,00 na função v(t):
v(1,00) = -6,40 + 0,480 times 1,00 - 0,360 times (1,00)^2
Calculando cada termo:
v(1,00) = -6,40 + 0,480 - 0,360 = -6,40 + 0,480 = -5,92
-5,92 - 0,360 = -6,28 m/s

Passo 8

Por fim, a aceleração a(1,00):
Substituindo t = 1,00 na função a(t):
a(1,00) = 0,480 - 0,720 times 1,00 = 0,480 - 0,720 = -0,240 m/s^2

Resposta

A.1) As funções horárias da velocidade e da aceleração são:
v(t) = -6,40 + 0,480, t - 0,360, t^2
a(t) = 0,480 - 0,720, t
A.2) No instante de 1,00 segundo:
  • Posição: x(1,00) = 73,72 metros
  • Velocidade: v(1,00) = -6,28 m/s
  • Aceleração: a(1,00) = -0,240 m/s²

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