5)
A) Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
onde
é o tempo e
é a coordenada espacial, em unidades do Sistema Internacional. Determinar:
A.1) As funções horárias da velocidade e da aceleração,
A.2) A posição, a velocidade e a aceleração no instante 1,00 s.
A) Uma partícula em movimento em trajetória retilínea tem a função horária do movimento dada por:
A.1) As funções horárias da velocidade e da aceleração,
A.2) A posição, a velocidade e a aceleração no instante 1,00 s.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo:
Aqui,
é o tempo e
é a posição. A gente precisa encontrar:
A.1) As funções da velocidade e da aceleração.
A.2) A posição, a velocidade e a aceleração no instante de
segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a função da velocidade
, a gente precisa derivar
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função
:
- A derivada de
é , porque é uma constante. - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a função da velocidade fica:
Passo 4
Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar
para encontrar
.
Derivando cada termo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a função da aceleração fica:
Passo 5
Agora que temos as funções horárias da posição, da velocidade e da aceleração, vamos para a segunda parte: encontrar esses valores no instante de
segundo.
Passo 6
Primeiro, a posição
:
Substituindo
na função
:
Calculando cada termo:
Passo 7
Agora, a velocidade
:
Substituindo
na função
:
Calculando cada termo:
Passo 8
Por fim, a aceleração
:
Substituindo
na função
:
Resposta
A.1) As funções horárias da velocidade e da aceleração são:
A.2) No instante de
segundo:
- Posição:
metros - Velocidade:
m/s - Aceleração:
m/s²