- 100 sacas de trigo são distribuídas entre 100 pessoas, de modo que cada homem receba 3 sacas, cada mulher 2 e cada criança
saca. Qual é o número, não nulo, de homens, mulheres e crianças que participaram da distribuição sabendo que o número de crianças foi o maior possível?
Passo 1
O enunciado diz que temos 100 sacas de trigo distribuídas entre 100 pessoas, em que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 e cada criança
saca. A gente quer descobrir quantos homens (
), mulheres (
) e crianças (
) participaram, de modo que o número de crianças seja o maior possível. Vamos definir as variáveis e montar as equações. Seja
o número de homens,
o número de mulheres e
o número de crianças. Como são 100 pessoas no total, temos
Cada homem leva 3 sacas, cada mulher 2 sacas e cada criança
saca, totalizando 100 sacas, ou seja,
Passo 2
Para eliminar o
e combinar as equações, multiplicamos a segunda por 2 e obtemos
Agora podemos usar as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar
, dá
Passo 3
A equação
é uma equação diofantina linear. Vamos achar soluções inteiras positivas. De
isolamos
Para ser inteiro precisamos de
. Como
e
, temos
Logo as soluções têm a forma
, onde
é um inteiro. Substituindo em
dá
Para termos
e
precisamos de
.
Passo 4
Agora, para cada
, o número de crianças é
Como queremos
máximo, escolhemos o maior
que mantém
, ou seja
. Isso dá
Passo 5
Portanto, com o número de crianças maximizado, temos 17 homens, 5 mulheres e 78 crianças na distribuição.
Resposta
17 homens, 5 mulheres e 78 crianças