1. 100 sacas de trigo são distribuídas entre 100 pessoas, de modo que cada homem receba 3 sacas, cada mulher 2 e cada criança 12 saca. Qual é o número, não nulo, de homens, mulheres e crianças que participaram da distribuição sabendo que o número de crianças foi o maior possível?

Passo 1

O enunciado diz que temos 100 sacas de trigo distribuídas entre 100 pessoas, em que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 e cada criança tfrac12 saca. A gente quer descobrir quantos homens ( x), mulheres ( y) e crianças ( z) participaram, de modo que o número de crianças seja o maior possível. Vamos definir as variáveis e montar as equações. Seja x o número de homens, y o número de mulheres e z o número de crianças. Como são 100 pessoas no total, temos
x + y + z = 100
Cada homem leva 3 sacas, cada mulher 2 sacas e cada criança tfrac12 saca, totalizando 100 sacas, ou seja,
3x + 2y + tfrac12 z = 100

Passo 2

Para eliminar o tfrac12 e combinar as equações, multiplicamos a segunda por 2 e obtemos
6x + 4y + z = 200
Agora podemos usar as duas equações:
x + y + z = 100, 6x + 4y + z = 200
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar z, dá
(6x+4y+z) - (x+y+z) = 200 - 100
5x + 3y = 100

Passo 3

A equação 5x + 3y = 100 é uma equação diofantina linear. Vamos achar soluções inteiras positivas. De 5x + 3y = 100 isolamos
y = 100 - 5x3
Para ser inteiro precisamos de 100 - 5xequiv 0pmod3. Como 5equiv2pmod3 e 100equiv1pmod3, temos
1 - 2x equiv 0 pmod3 implies 2x equiv 1 pmod3 implies x equiv 2 pmod3
Logo as soluções têm a forma x=3k+2, onde k é um inteiro. Substituindo em y
y = 30 - 5k
Para termos x>0 e y>0 precisamos de k=0,1,2,3,4,5.

Passo 4

Agora, para cada k, o número de crianças é
z = 100 - x - y = 100 - (3k+2) - (30-5k) = 68 + 2k
Como queremos z máximo, escolhemos o maior k que mantém y>0, ou seja k=5. Isso dá
x = 3cdot5 + 2 = 17, y = 30 - 5cdot5 = 5, z = 68 + 2cdot5 = 78

Passo 5

Portanto, com o número de crianças maximizado, temos 17 homens, 5 mulheres e 78 crianças na distribuição.

Resposta

17 homens, 5 mulheres e 78 crianças

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