Questão 15. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
ccc2 & 5 & -1 4 & -1 & 2 0 & 4 & 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz B é inversível e, em caso afirmativo, encontrar B^-1 usando operações elementares sobre linhas. O conteúdo aqui é teoria de matrizes inversíveis e o método de Gauss–Jordan, que consiste em aplicar operações de linha na matriz aumentada [B mid I] até obter [I mid B^-1].

Passo 2

Primeiro, construímos a matriz aumentada:
[B mid I] = (ccc|ccc 2 & 5 & -1 & 1 & 0 & 0 4 & -1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 )
Em seguida, normalizamos a primeira linha dividindo por 2 e eliminamos o elemento abaixo na coluna 1:
R1 tfrac12 R1, R2 R2 - 4 R1,
resultando em
(ccc|ccc 1 & tfrac52 & -tfrac12 & tfrac12 & 0 & 0 0 & -11 & 4 & -2 & 1 & 0 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Agora escolhemos o pivô na posição (2,2). Normalizamos a segunda linha e eliminamos os elementos acima e abaixo desse pivô:
R2 -tfrac111 R2,
R1 R1 - tfrac52 R2, R3 R3 - 4,R2,
levando a
(ccc|ccc 1 & 0 & tfrac922 & tfrac122 & tfrac522 & 0 0 & 1 & -tfrac411 & tfrac211 & -tfrac111 & 0 0 & 0 & tfrac2711 & -tfrac811 & tfrac411 & 1 )

Passo 4

Por fim, usamos o pivô na posição (3,3). Normalizamos a terceira linha e eliminamos os coeficientes acima:
R3 tfrac1127 R3,
R1 R1 - tfrac922 R3, R2 R2 + tfrac411 R3
Isso produz a forma reduzida [I mid B^-1] com
B^-1 = tfrac16 & tfrac16 & -tfrac16 tfrac227 & -tfrac127 & tfrac427 -tfrac827 & tfrac427 & tfrac1127

Passo 5

Como conseguimos diagonalizar a parte esquerda em I, concluímos que B é inversível e a parte direita final é a sua inversa.

Resposta

B é inversível e
B^-1 = tfrac16 & tfrac16 & -tfrac16 tfrac227 & -tfrac127 & tfrac427 -tfrac827 & tfrac427 & tfrac1127

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