Ache os pontos de lx+y=2 x=y+z, que distam 3 do ponto A=(0,2,1).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta r, definida pela interseção de dois planos, que estão a distância 3 do ponto A=(0,2,1). Vamos usar parametrização de reta em 3D e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

A reta r vem do sistema x+y=2 e x=y+z. Da primeira equação temos y=2-x. Da segunda, z=x-y=x-(2-x)=2x-2. Tomando x=t, obtemos a parametrização
P(t)=(t,,2-t,,2t-2)

Passo 3

A distância de P(t)=(t,2-t,2t-2) ao ponto A=(0,2,1) é dada por
d(t)^2=(t-0)^2+((2-t)-2)^2+((2t-2)-1)^2=t^2+(-t)^2+(2t-3)^2

Passo 4

Para ter distância 3, impomos d(t)^2=9. Logo:
t^2+t^2+(2t-3)^2=9
2t^2+4t^2-12t+9=9
6t^2-12t=0
6t(t-2)=0
Portanto, t=0 ou t=2.

Passo 5

Substituindo em P(t):
  • Para t=0: P(0)=(0,2,-2).
  • Para t=2: P(2)=(2,0,2).

Resposta

Os pontos são (0,2,-2) e (2,0,2).

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