Questão 15. Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
ccc1 & -1 & 2 3 & 2 & -4 0 & 1 & -2

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se a matriz C é inversível usando operações elementares sobre linhas e, se for, encontrar C^-1. O conteúdo é eliminação de Gauss em uma matriz aumentada [Cmid I].

Passo 2

Primeiro criamos a matriz aumentada
[ccc|ccc 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & -4 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 ]
Agora zeramos o elemento abaixo do pivô da coluna 1 usando R2 ← R2 − 3·R1:
R2:;(3,2,-4mid0,1,0)-3cdot(1,-1,2mid1,0,0) = (0,5,-10mid-3,1,0)
A matriz fica
[ccc|ccc 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 5 & -10 & -3 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 ]
Em seguida normalizamos a segunda linha: R2 ← (1/5)·R2, ficando
R2=(0,1,-2mid-3/5,1/5,0)
Agora usamos R3 ← R3 − R2 pra zerar o elemento da coluna 2 da linha 3:
R3:(0,1,-2mid0,0,1)-(0,1,-2mid-3/5,1/5,0) =(0,0,0mid3/5,-1/5,1)

Passo 3

Observamos que a parte esquerda da terceira linha ficou toda zero, ou seja, não temos pivô na coluna 3. Isso mostra que o posto de C é menor que 3, logo C é singular e não tem inversa.

Resposta

A matriz C não é inversível, pois ao escalonar obtemos uma linha nula na parte de C, mostrando que seu posto é menor que 3.

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