Usando o processo de eliminação de GaussJordan, determine a forma linha reduzida das seguintes matrizes:
1.
(ll a & b c & d )

Passo 1

Estamos com a matriz genérica de ordem 2
A= a & b c & d
O objetivo é achar sua forma linha reduzida (RREF) usando eliminação de Gauss–Jordan: vamos escolher pivô, escalonar linhas, escalar pivôs a 1 e zerar acima e abaixo de cada pivô.

Passo 2

Primeiro buscamos um pivô na coluna 1. Se aneq0, usamos a como pivô. Se a=0 e cneq0, trocamos as linhas R1rightarrow R2 para trazer c à posição (1,1). Se a=c=0, ambas as linhas são nulas na coluna 1 e o posto da matriz é zero, logo a forma reduzida é a matriz nula.

Passo 3

Agora normalizamos o pivô e zeramos o elemento abaixo: dividimos a primeira linha por seu pivô p (que é o valor não nulo em (1,1)) para torná-lo 1, e então subtraímos de R2 o múltiplo adequado de R1 para zerar o elemento (2,1). Após isso, obtemos a forma escalonada
1 & beta 0 & dfracad-bcp ,
onde beta=tfracba se não houve troca (ou beta=tfracdc se trocamos).

Passo 4

Por fim, completamos o Gauss–Jordan: se o segundo pivô (o elemento (2,2)) for não nulo, dividimos a segunda linha por esse valor para obter 1 e então zeramos o elemento acima, resultando na matriz identidade. Se esse pivô for zero, já temos a forma reduzida com uma única linha não nula e a segunda linha toda zero.

Passo 5

Concluímos que, em função do determinante det(A)=ad-bc e do posto, a forma linha reduzida é dada pelos casos abaixo.

Resposta

RREF(A)= I2, &se ad - bc neq 0, 1 & tfracba0 & 0, &se ad - bc = 0 e (a,b)neq(0,0), 1 & tfracdc0 & 0, &se a=b=0,;cneq0, 0 & 00 & 0, &se a=b=c=d=0

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