Se 1000,00 forem investidos a uma taxa de juros de
, contabilizados anualmente, depois de
anos o investimento valerá
.
a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência
.
b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.
a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência
b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um investimento inicial de R$1000,00 aplicado a uma taxa de juros de 5% ao ano, com os juros sendo contabilizados anualmente. A fórmula que descreve o valor do investimento após
anos é
.
Conteúdo da matéria: Juros compostos e sequências geométricas.
O que vamos precisar para resolver:
- Entender como calcular os termos de uma sequência geométrica.
- Saber identificar se uma sequência é convergente ou divergente.
Passo 2
Vamos resolver a parte a) do exercício: Encontrar os cinco primeiros termos da sequência
.
Primeiro, precisamos entender que
é uma sequência geométrica onde:
- O primeiro termo (
) é quando . - Cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por 1,05 (que é a taxa de juros de 5%).
Vamos calcular cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) do exercício: Determinar se a sequência é convergente ou divergente e explicar.
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente.
-
Sequência Convergente: Uma sequência é convergente se seus termos se aproximam de um número fixo à medida que
aumenta. Em outras palavras, a sequência tende a um valor limite. -
Sequência Divergente: Uma sequência é divergente se não converge para nenhum número específico. Isso pode acontecer se os termos da sequência aumentarem ou diminuírem sem limite.
No nosso caso, a fórmula da sequência é
.
Observando a base da potência,
, que é maior que 1, percebemos que cada termo é 1,05 vezes o termo anterior. Isso significa que a sequência está aumentando a cada ano.
À medida que
aumenta,
também cresce sem limites, fazendo com que
cresça indefinidamente.
Portanto, a sequência não se aproxima de nenhum valor fixo, mas sim aumenta sem parar.
Resposta
a) Os cinco primeiros termos da sequência
são:
b) A sequência é divergente, pois os termos aumentam sem limite à medida que
cresce, ou seja, não se aproximam de nenhum valor fixo.