Se 1000,00 forem investidos a uma taxa de juros de 5 %, contabilizados anualmente, depois de n anos o investimento valerá an=1000(1,05)^n.
a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência an.
b) A sequência é convergente ou divergente? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um investimento inicial de R$1000,00 aplicado a uma taxa de juros de 5% ao ano, com os juros sendo contabilizados anualmente. A fórmula que descreve o valor do investimento após 1000,00 aplicado a uma taxa de juros de 5% ao ano, com os juros sendo contabilizados anualmente A fórmula que descreve o valor do investimento após anos é anos é .
Conteúdo da matéria: Juros compostos e sequências geométricas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender como calcular os termos de uma sequência geométrica.
  • Saber identificar se uma sequência é convergente ou divergente.

Passo 2

Vamos resolver a parte a) do exercício: Encontrar os cinco primeiros termos da sequência an .
Primeiro, precisamos entender que an = 1000(1,05)^n é uma sequência geométrica onde:
  • O primeiro termo ( a1 ) é quando n = 1 .
  • Cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por 1,05 (que é a taxa de juros de 5%).
Vamos calcular cada termo:
  1. Para n = 1 :
a1 = 1000 times 1,05^1 = 1000 times 1,05 = 1050
  1. Para n = 2 :
a2 = 1000 times 1,05^2 = 1000 times 1,1025 = 1102,50
  1. Para n = 3 :
a3 = 1000 times 1,05^3 = 1000 times 1,157625 = 1157,63
  1. Para n = 4 :
a4 = 1000 times 1,05^4 = 1000 times 1,21550625 = 1215,51
  1. Para n = 5 :
a5 = 1000 times 1,05^5 = 1000 times 1,2762815625 = 1276,28

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) do exercício: Determinar se a sequência é convergente ou divergente e explicar.
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente.
  • Sequência Convergente: Uma sequência é convergente se seus termos se aproximam de um número fixo à medida que n aumenta. Em outras palavras, a sequência tende a um valor limite.
  • Sequência Divergente: Uma sequência é divergente se não converge para nenhum número específico. Isso pode acontecer se os termos da sequência aumentarem ou diminuírem sem limite.
No nosso caso, a fórmula da sequência é an = 1000(1,05)^n .
Observando a base da potência, 1,05 , que é maior que 1, percebemos que cada termo é 1,05 vezes o termo anterior. Isso significa que a sequência está aumentando a cada ano.
À medida que n aumenta, (1,05)^n também cresce sem limites, fazendo com que an cresça indefinidamente.
Portanto, a sequência não se aproxima de nenhum valor fixo, mas sim aumenta sem parar.

Resposta

a) Os cinco primeiros termos da sequência an são:
a1 = R$1050, a2 = R$1102,50, a3 = R$1157,63, a4 = R$1215,51, a5 = R$1276,28
b) A sequência é divergente, pois os termos aumentam sem limite à medida que n cresce, ou seja, não se aproximam de nenhum valor fixo.

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