Acerca do campo vetorial
responda:
pontos)
Calcule
partindo do ponto
até o ponto
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
partindo do ponto
até o ponto
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que vamos precisar: Entender o que é um campo vetorial, como calcular uma integral de linha e verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial
. Isso é útil porque, se o campo for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.
Para verificar se
é conservativo, vamos calcular a condição de conservatividade em duas dimensões. Se
, então o campo é conservativo se:
No nosso caso,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo!
Passo 3
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
que já sabemos:
Comparando os termos, temos:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar na função potencial.
Então, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha diretamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha em Campos Conservativos, que diz:
Vamos calcular
nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema Fundamental:
Resposta
A integral de linha
de
até
é igual a
.