Acerca do campo vetorial F(x, y)=(x+y) i+(x-2) j responda: (25 pontos)
Calcule integralc F d r partindo do ponto A(1,2) até o ponto B(3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (x + y)i + (x - 2)j e precisamos calcular a integral de linha integralc F cdot dr partindo do ponto A(1, 2) até o ponto B(3, 0).
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha.
O que vamos precisar: Entender o que é um campo vetorial, como calcular uma integral de linha e verificar se o campo é conservativo para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função potencial phi(x, y). Isso é útil porque, se o campo for conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.
Para verificar se F é conservativo, vamos calcular a condição de conservatividade em duas dimensões. Se F = Pi + Qj, então o campo é conservativo se:
partial Qpartial x = partial Ppartial y
No nosso caso, P = x + y e Q = x - 2.
Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x - 2)partial x = 1
partial Ppartial y = partial (x + y)partial y = 1
Como partial Qpartial x = partial Ppartial y, o campo F é conservativo!

Passo 3

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial phi(x, y) tal que:
F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j
Isso significa que:
partial phipartial x = P = x + y
partial phipartial y = Q = x - 2
Vamos integrar partial phipartial x em relação a x para encontrar phi:
phi(x, y) = integral (x + y) , dx = x^22 + yx + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.
Agora, vamos derivar phi(x, y) em relação a y e igualar a partial phipartial y que já sabemos:
partial phipartial y = x + g'(y) = x - 2
Comparando os termos, temos:
x + g'(y) = x - 2 implies g'(y) = -2
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = -2y + C
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar na função potencial.
Então, a função potencial é:
phi(x, y) = x^22 + xy - 2y

Passo 4

Agora que temos a função potencial phi(x, y), podemos calcular a integral de linha diretamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha em Campos Conservativos, que diz:
integralA^B F cdot dr = phi(B) - phi(A)
Vamos calcular phi nos pontos A(1, 2) e B(3, 0).
Para A(1, 2):
phi(1, 2) = 1^22 + (1)(2) - 2(2) = 12 + 2 - 4 = -32
Para B(3, 0):
phi(3, 0) = 3^22 + (3)(0) - 2(0) = 92 + 0 - 0 = 92

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema Fundamental:
integralc F cdot dr = phi(B) - phi(A) = 92 - (-32) = 92 + 32 = 122 = 6

Resposta

A integral de linha integralc F cdot dr de A(1, 2) até B(3, 0) é igual a 6.

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