Utilize a série geométrica para expressar o número
como uma razão de inteiros.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o número decimal
, que é uma repetição do número 71. Vamos usar uma série geométrica para expressá-lo como uma fração de inteiros.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
é uma sequência infinita onde o padrão “71” se repete continuamente. Podemos escrever isso da seguinte maneira:
Cada termo após o primeiro adiciona mais duas casas decimais com “71”.
Passo 3
Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Aqui, a razão
é
porque cada novo “71” está duas casas decimais à direita do anterior, ou seja, multiplicamos por
(que é
).
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo da série, -
é a razão entre os termos.
Passo 5
No nosso caso:
- O primeiro termo
é . - A razão
é .
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Resposta
Portanto, o número
pode ser expresso como a fração
.