Utilize a série geométrica para expressar o número 0,71=0,717171 ldots como uma razão de inteiros.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o número decimal 0,717171ldots, que é uma repetição do número 71. Vamos usar uma série geométrica para expressá-lo como uma fração de inteiros.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que 0,717171ldots é uma sequência infinita onde o padrão “71” se repete continuamente. Podemos escrever isso da seguinte maneira:
0,71 + 0,00071 + 0,00000071 + ldots
Cada termo após o primeiro adiciona mais duas casas decimais com “71”.

Passo 3

Essa é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Aqui, a razão r é 0,01 porque cada novo “71” está duas casas decimais à direita do anterior, ou seja, multiplicamos por 0,01 (que é 1100).

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada pela fórmula:
S = a1 - r
onde:
  • S é a soma da série,
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão entre os termos.

Passo 5

No nosso caso:
  • O primeiro termo a é 0,71.
  • A razão r é 0,01.
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
S = 0,711 - 0,01 = 0,710,99

Resposta

Portanto, o número 0,717171ldots pode ser expresso como a fração 7199.

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