De 1000 lavouras de arroz, foi levantada uma amostra de 25 lavouras e a informação a respeito da produtividade permitiu o cálculo do rendimento médio, por hectare ( 1 h a=10.000 \mathrm{~m}^{2} ), que foi de 3400 kg com um desvio padrão de 150 kg .
a) Determine o intervalo de confiança a 95 \% e 99 \%, para o verdadeiro rendimento médio.
b) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95 \% a confiança na estimativa 3400 \pm 100 ?
c) Determine o intervalo de confiança a 98 \% para a verdadeira variância do rendimento.
Resposta: a) [3338,00 ; 3461,92] e [3316,09 ; 3483,91]; b) n \cong 10 ; c) [12563,98 ; 49742,08].

Passo 1

O enunciado nos dá uma população finita de N=1000 lavouras e uma amostra de tamanho n=25 na qual se obteve média amostral de rendimento por hectare \bar{x}=3400 kg e desvio-padrão amostral s=150 kg.
Conteúdos: intervalo de confiança para média (t-Student), cálculo de tamanho de amostra para erro máximo, e intervalo de confiança para variância (qui-quadrado).

Passo 2

Intervalo de confiança de 95\% para a média:
Usamos
\bar x \pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
com \alpha=0,05, n-1=24 e t_{0,975;24}\approx2,064.
O erro padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{150}{\sqrt{25}}=30.
Logo a margem de erro é
2,064\times30=61,92,
e o intervalo é
[3400-61,92,\;3400+61,92]=[3338,08,\;3461,92]\approx[3338,00;\;3461,92].

Passo 3

Intervalo de confiança de 99\% para a média:
Agora \alpha=0,01, t_{0,995;24}\approx2,797. Mantendo o erro padrão 30, a margem de erro é
2,797\times30=83,91,
dando
[3400-83,91,\;3400+83,91]=[3316,09,\;3483,91].

Passo 4

Tamanho de amostra para erro máximo de \pm100 kg com 95\% de confiança:
Para população grande usamos
n\approx\Bigl(\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;s}{E}\Bigr)^{2},
com z_{0,975}=1,96, s=150 e E=100:
n\approx\Bigl(\frac{1,96\cdot150}{100}\Bigr)^{2}=\bigl(2,94\bigr)^{2}=8,64.
Arredondando para cima, obtemos
n\cong10.

Passo 5

Intervalo de confiança de 98\% para a variância verdadeira \sigma^{2}:
Usamos
\Bigl[\;\frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}}\;,\; \frac{(n-1)\,s^{2}}{\chi^{2}_{\frac{\alpha}{2},\,n-1}}\Bigr],
com \alpha=0,02, n-1=24, s^{2}=150^{2}=22500. Dos quadros de qui-quadrado:
\chi^{2}_{0,99;24}\approx42,979 e \chi^{2}_{0,01;24}\approx10,851.
Calculamos
\frac{24\cdot22500}{42,979}\approx12563,98, \quad \frac{24\cdot22500}{10,851}\approx49742,08.
Logo o intervalo é
[12563,98;\;49742,08].

Resposta

a) [3338,00;\;3461,92] e [3316,09;\;3483,91]
b) n\cong10
c) [12563,98;\;49742,08]

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