O controle químico de uma doença será feito se a proporção de plantas doentes de uma região atingir 3 \%. Realizando uma amostra de tamanho n=500 plantas, o pesquisador observou y=11 plantas doentes. Se você fosse tomar a decisão com base na estimativa pontual, qual seria sua decisão? Se por outro lado você fizesse o intervalo de 95 \% de confiança, qual seria sua decisão? Quais seriam suas respostas se em vez de observar y=11 doentes, tivesse sido observado y=8 doentes?

Passo 1

O enunciado pede que a gente decida aplicar controle químico se a proporção verdadeira p de plantas doentes satisfizer p\ge0,03. Temos uma amostra de tamanho n=500 e vamos:
  • usar a estimativa pontual \hat p = y/n e comparar com 0,03;
  • construir um intervalo de confiança de 95\% para p pelo método assintótico normal e ver se 0,03 fica dentro ou fora.

Passo 2

No caso y=11 plantas doentes:
  • estimativa pontual
    \displaystyle \hat p = \frac{11}{500} = 0,022.
    Como 0,022<0,03, pela regra da estimativa pontual não aplicaríamos o controle químico.

Passo 3

Ainda para y=11, o intervalo de confiança assintótico de 95\% é dado por
\hat p \pm z_{0,975}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},
com z_{0,975}=1,96. Calculando:
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{0,022\cdot0,978}{500}}\approx0,00656 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{ME}=1,96\times0,00656\approx0,0129
\text{IC}_{95\%} = [\,0,022-0,0129,\;0,022+0,0129\,] = [\,0,0091,\;0,0349\,].
Como 0,03 está dentro de [0,0091,0,0349], não podemos afirmar que p<0,03 ao nível de 5\%. Assim, pelo critério do intervalo, sim faríamos o controle químico.

Passo 4

No caso y=8 plantas doentes:
  • estimativa pontual
    \displaystyle \hat p = \frac{8}{500} = 0,016.
    Como 0,016<0,03, pela regra da estimativa pontual não aplicaríamos o controle químico.

Passo 5

Para y=8, o mesmo IC de 95\% é
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{0,016\cdot0,984}{500}}\approx0,00561, \quad \mathrm{ME}=1,96\times0,00561\approx0,0110
\text{IC}_{95\%}=[\,0,016-0,0110,\;0,016+0,0110\,]=[\,0,0050,\;0,0270\,].
Aqui 0,03 fica acima de 0,0270, ou seja, o intervalo está totalmente abaixo de 0,03. Logo, pelo critério do intervalo, não aplicaríamos o controle químico.

Resposta

y =11: ponto \to não aplicar; IC \to aplicar
y =8: ponto \to não aplicar; IC \to não aplicar

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