Deseja-se utilizar um destilador batelada simples para separar metanol de uma mistura metanol-água. A carga admitida no refervedor é de 50 mol de uma mistura de 80 \mathrm{mol} \% de metanol. Deseja-se uma concentração média de destilado de 89,2 \mathrm{~mol} \% de metanol. Encontre a quantidade de destilado coletada, a quantidade de material remanescente no refervedor, e a concentração do material no refervedor. Os dados de equilíbrio metanol-água a 1 atm são apresentados na tabela abaixo:

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade inicial no refervedor: W_0 = 50 mol de mistura.
    • Fração molar inicial de metanol na carga: x_0 = 0{,}80 (ou 80\\ \%).
    • Deseja-se uma concentração média do destilado: \bar{x}_D = 0{,}892 (ou 89{,}2\\ \%).
    • Foi mencionada uma tabela de equilíbrio metanol–água a 1 atm, que é necessária para relacionar a composição do vapor y com a composição do líquido x.
  • O que o problema pede:
    1. Quantidade de destilado coletada N_D.
    2. Quantidade de material remanescente no refervedor W.
    3. Concentração do material no refervedor x_W.
Observação importante: a tabela de equilíbrio (relação y vs x ou dados que permitam obter y(x)) foi mencionada, mas NÃO foi fornecida aqui. Esses dados são essenciais para calcular a evolução da composição durante a destilação (pela equação de Rayleigh). Sem a tabela de equilíbrio não é possível obter valores numéricos finais. Abaixo explico em detalhe o método passo a passo (didático) que deve ser aplicado assim que os dados de equilíbrio estiverem disponíveis.

Passo 2

Equação de balanço global e balanço de componente (passo inicial algebraico, sem usar equilíbrio):
  • Balanço de número total de mols:
    W_0 = N_D + W
    onde N_D é o total de mols de destilado coletado e W é a quantidade remanescente no refervedor ao final.
  • Balanço de componente (metanol):
    W_0 x_0 = N_D \,\bar{x}_D + W x_W.
    Aqui:
    • x_0 é a fração molar inicial de metanol (dada),
    • \bar{x}_D é a fração média de metanol no destilado (dada),
    • x_W é a fração de metanol restante no refervedor (desconhecida).
Temos duas equações, mas três incógnitas (N_D, W, x_W). Precisamos de uma terceira relação que venha da termodinâmica/ equilíbrio vapor–líquido: é aí que entra a tabela y=y(x).

Passo 3

Derivação e apresentação da equação de Rayleigh (a ferramenta chave para destilação batelada simples):
Explicação física rápida e derivação passo a passo:
  • Em destilação batelada simples (sem refluxo), o vapor que sai tem composição y (fração de metanol no vapor) relacionada com a composição do líquido no refervedor x através da curva de equilíbrio y(x).
  • Quando um pequeno montante de destilado dN_D é removido, o refervedor perde dW = -dN_D. A variação no número de mols de metanol no refervedor é d(W x) = W\,dx + x\,dW.
  • Esse montante de metanol removido vai para o destilado e vale y\,dN_D = -y\,dW.
  • Balanço diferencial de componente: W\,dx + x\,dW = -y\,dW.
  • Rearranjando: W\,dx = -(y - x)\,dW.
  • Dividindo por W\,(y-x) e integrando entre condições iniciais e finais obtemos a forma integral de Rayleigh: \ln\!\left(\frac{W}{W_0}\right) = \int_{x_0}^{x_W} \frac{dx}{y(x) - x}.
Esta é a relação que liga a redução da quantidade líquida no refervedor W à mudança na composição líquida x, usando a curva de equilíbrio y(x). Note que os limites da integração vão de x_0 (composição inicial no refervedor) até x_W (composição final no refervedor).

Passo 4

Como usar a tabela de equilíbrio y(x) na prática (integração numérica) — instrução passo a passo bem prática:
  • A tabela forneceria pontos (x_i, y_i). A integral
    I(x_W) = \int_{x_0}^{x_W} \frac{dx}{y(x)-x}
    deve ser avaliada numericamente porque y(x) costuma ser conhecida apenas em pontos da tabela.
  • Método prático (regra trapezoidal sobre a tabela):
    • Ordene os pontos de x da tabela de modo que cubram o intervalo entre x_0 e uma suposição para x_W.
    • Para cada subintervalo [x_i,x_{i+1}] calcule a contribuição aproximada \Delta I_i \approx \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y_i - x_i} + \frac{1}{y_{i+1} - x_{i+1}}\right)(x_{i+1}-x_i).
    • Some todas as \Delta I_i para obter I(x_W)\approx\sum \Delta I_i.
    • Cuidado: em pontos onde y-x é pequeno, o integrando fica grande; use passo fino na tabela ou interpolações para maior precisão.
  • Após avaliar I(x_W), determine W pela equação de Rayleigh:
    W = W_0 \exp\big( I(x_W) \big).
    (lembrando que, normalmente, x_W<x_0 no caso de uma espécie mais volátil sendo removida; então I(x_W) é negativo e W<W_0.)

Passo 5

Como determinar x_W e N_D concretamente — estratégia numérica combinando Rayleigh com balanço de componente:
  • Procedimento prático (iterativo):
    1. Faça uma suposição inicial para x_W (por exemplo, um valor menor que x_0).
    2. Use a tabela y(x) e a regra trapezoidal para calcular I(x_W)=\int_{x_0}^{x_W} \dfrac{dx}{y-x}.
    3. Calcule W = W_0 \exp(I(x_W)).
    4. Obtenha N_D = W_0 - W.
    5. Verifique o balanço de metanol: \text{erro}(x_W) = W_0 x_0 - \big(N_D \,\bar{x}_D + W x_W\big).Se \text{erro}=0 dentro de tolerância, achou-se a solução. Caso contrário, ajuste x_W e repita.
  • Explicação do porquê isso funciona:
    • A equação de Rayleigh fornece W como função de x_W.
    • O balanço de componente impõe uma condição adicional que determina qual x_W faz o total de metanol inicial se repartir corretamente entre destilado (com média \bar{x}_D) e o restante líquido.
  • Técnicas de ajuste:
    • Use bisseção ou método da secante para ajustar x_W até que \text{erro}(x_W) se aproxime de zero. Escolha limites de x_W que sejam fisicamente plausíveis (por ex. 0 \le x_W \le x_0).
    • Em planilha eletrônica: monte as fórmulas e use buscador/solver; manualmente pode-se fazer 4–10 iterações para convergir.

Passo 6

Observações práticas e dicas para cálculo sem calculadora pesada:
  • Interpolação linear entre pontos da tabela é geralmente suficiente se a malha de dados for razoavelmente densa.
  • Quando o integrando 1/(y-x) tem picos (valores grandes), use subintervalos menores perto desses pontos.
  • Unidades: todas as quantidades estão em mol (frações molares são adimensionais). Não há necessidade de converter unidades desde que se trabalhe só com frações molares e números de mols.
  • Verificação rápida: após obter W e x_W, confirme sempre que: N_D = W_0 - W \quad\text{e}\quad W_0 x_0 = N_D \bar{x}_D + W x_W.

Passo 7

Resumo do algoritmo numérico que deve ser executado assim que a tabela y(x) estiver disponível:
  1. Receber tabela (x_i,y_i).
  2. Escolher chute inicial para x_W.
  3. Calcular numericamente I(x_W)=\int_{x_0}^{x_W}\dfrac{dx}{y-x} (regra trapezoidal/interpolar).
  4. Calcular W=W_0 \exp(I(x_W)) e N_D=W_0-W.
  5. Calcular erro do balanço de metanol: E = W_0 x_0 - (N_D \bar{x}_D + W x_W).
  6. Ajustar x_W até E ser (próximo de) zero.
  7. Resultado final: N_D, W, x_W.
Esses passos são os que são ensinados na prova para resolver problemas de destilação batelada simples. Com a tabela de equilíbrio em mãos, cada etapa é direta e executável com uma calculadora e/ou planilha.

Passo 8

Motivo final da impossibilidade de fornecer valores numéricos agora:
  • A integral de Rayleigh depende explicitamente da função y(x) (curva de equilíbrio). Como a tabela de equilíbrio prometida no enunciado NÃO foi enviada, não há base numérica para:
    • Avaliar a integral \int_{x_0}^{x_W}\dfrac{dx}{y-x},
    • Determinar W a partir da equação de Rayleigh,
    • Nem, consequentemente, obter N_D e x_W.
Portanto, com os dados que você me deu aqui não é possível calcular numericamente as quantidades pedidas.

Resposta

Não é possível calcular numericamente N_D, W e x_W porque a tabela de equilíbrio y(x) (metanol–água a 1 atm) mencionada no enunciado não foi fornecida; esses dados são necessários para aplicar a equação de Rayleigh e obter valores numéricos.

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