Deseja-se utilizar um destilador batelada simples para separar metanol de uma mistura metanol-água. A carga admitida no refervedor é de 50 mol de uma mistura de 80
de metanol. Deseja-se uma concentração média de destilado de
de metanol. Encontre a quantidade de destilado coletada, a quantidade de material remanescente no refervedor, e a concentração do material no refervedor. Os dados de equilíbrio metanol-água a 1 atm são apresentados na tabela abaixo:
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Quantidade inicial no refervedor:
mol de mistura. - Fração molar inicial de metanol na carga:
(ou ). - Deseja-se uma concentração média do destilado:
(ou ). - Foi mencionada uma tabela de equilíbrio metanol–água a
atm, que é necessária para relacionar a composição do vapor com a composição do líquido .
- Quantidade inicial no refervedor:
-
O que o problema pede:
- Quantidade de destilado coletada
. - Quantidade de material remanescente no refervedor
. - Concentração do material no refervedor
.
- Quantidade de destilado coletada
Observação importante: a tabela de equilíbrio (relação
vs
ou dados que permitam obter
) foi mencionada, mas NÃO foi fornecida aqui. Esses dados são essenciais para calcular a evolução da composição durante a destilação (pela equação de Rayleigh). Sem a tabela de equilíbrio não é possível obter valores numéricos finais. Abaixo explico em detalhe o método passo a passo (didático) que deve ser aplicado assim que os dados de equilíbrio estiverem disponíveis.
Passo 2
Equação de balanço global e balanço de componente (passo inicial algebraico, sem usar equilíbrio):
-
Balanço de número total de mols:onde
é o total de mols de destilado coletado e é a quantidade remanescente no refervedor ao final. -
Balanço de componente (metanol):Aqui:
-
é a fração molar inicial de metanol (dada), -
é a fração média de metanol no destilado (dada), -
é a fração de metanol restante no refervedor (desconhecida).
-
Temos duas equações, mas três incógnitas
. Precisamos de uma terceira relação que venha da termodinâmica/ equilíbrio vapor–líquido: é aí que entra a tabela
.
Passo 3
Derivação e apresentação da equação de Rayleigh (a ferramenta chave para destilação batelada simples):
Explicação física rápida e derivação passo a passo:
- Em destilação batelada simples (sem refluxo), o vapor que sai tem composição
(fração de metanol no vapor) relacionada com a composição do líquido no refervedor através da curva de equilíbrio . - Quando um pequeno montante de destilado
é removido, o refervedor perde . A variação no número de mols de metanol no refervedor é . - Esse montante de metanol removido vai para o destilado e vale
. - Balanço diferencial de componente:
. - Rearranjando:
- Dividindo por
e integrando entre condições iniciais e finais obtemos a forma integral de Rayleigh:
Esta é a relação que liga a redução da quantidade líquida no refervedor
à mudança na composição líquida
, usando a curva de equilíbrio
. Note que os limites da integração vão de
(composição inicial no refervedor) até
(composição final no refervedor).
Passo 4
Como usar a tabela de equilíbrio
na prática (integração numérica) — instrução passo a passo bem prática:
-
A tabela forneceria pontos
. A integral deve ser avaliada numericamente porquecostuma ser conhecida apenas em pontos da tabela. -
Método prático (regra trapezoidal sobre a tabela):
- Ordene os pontos de
da tabela de modo que cubram o intervalo entre e uma suposição para . - Para cada subintervalo
calcule a contribuição aproximada - Some todas as
para obter . - Cuidado: em pontos onde
é pequeno, o integrando fica grande; use passo fino na tabela ou interpolações para maior precisão.
- Ordene os pontos de
-
Após avaliar
, determine pela equação de Rayleigh: (lembrando que, normalmente,no caso de uma espécie mais volátil sendo removida; então é negativo e .)
Passo 5
Como determinar
e
concretamente — estratégia numérica combinando Rayleigh com balanço de componente:
- Procedimento prático (iterativo):
- Faça uma suposição inicial para
(por exemplo, um valor menor que ). - Use a tabela
e a regra trapezoidal para calcular . - Calcule
. - Obtenha
. - Verifique o balanço de metanol:
Se dentro de tolerância, achou-se a solução. Caso contrário, ajuste e repita.
- Faça uma suposição inicial para
- Explicação do porquê isso funciona:
- A equação de Rayleigh fornece
como função de . - O balanço de componente impõe uma condição adicional que determina qual
faz o total de metanol inicial se repartir corretamente entre destilado (com média ) e o restante líquido.
- A equação de Rayleigh fornece
- Técnicas de ajuste:
- Use bisseção ou método da secante para ajustar
até que se aproxime de zero. Escolha limites de que sejam fisicamente plausíveis (por ex. ). - Em planilha eletrônica: monte as fórmulas e use buscador/solver; manualmente pode-se fazer 4–10 iterações para convergir.
- Use bisseção ou método da secante para ajustar
Passo 6
Observações práticas e dicas para cálculo sem calculadora pesada:
- Interpolação linear entre pontos da tabela é geralmente suficiente se a malha de dados for razoavelmente densa.
- Quando o integrando
tem picos (valores grandes), use subintervalos menores perto desses pontos. - Unidades: todas as quantidades estão em mol (frações molares são adimensionais). Não há necessidade de converter unidades desde que se trabalhe só com frações molares e números de mols.
- Verificação rápida: após obter
e , confirme sempre que:
Passo 7
Resumo do algoritmo numérico que deve ser executado assim que a tabela
estiver disponível:
- Receber tabela
. - Escolher chute inicial para
. - Calcular numericamente
(regra trapezoidal/interpolar). - Calcular
e . - Calcular erro do balanço de metanol:
. - Ajustar
até ser (próximo de) zero. - Resultado final:
, , .
Esses passos são os que são ensinados na prova para resolver problemas de destilação batelada simples. Com a tabela de equilíbrio em mãos, cada etapa é direta e executável com uma calculadora e/ou planilha.
Passo 8
Motivo final da impossibilidade de fornecer valores numéricos agora:
- A integral de Rayleigh depende explicitamente da função
(curva de equilíbrio). Como a tabela de equilíbrio prometida no enunciado NÃO foi enviada, não há base numérica para: - Avaliar a integral
, - Determinar
a partir da equação de Rayleigh, - Nem, consequentemente, obter
e .
- Avaliar a integral
Portanto, com os dados que você me deu aqui não é possível calcular numericamente as quantidades pedidas.
Resposta
Não é possível calcular numericamente
,
e
porque a tabela de equilíbrio
(metanol–água a 1 atm) mencionada no enunciado não foi fornecida; esses dados são necessários para aplicar a equação de Rayleigh e obter valores numéricos.