Se 1000 reais forem investidos numa conta que paga 7 \% de juros, acumulados n vezes por ano, então em 10 anos haverá
1000\left(1+\frac{0.07}{n}\right)^{10 n}
reais na conta. Quanto dinheiro estará na conta em 10 anos se os juros forem calculados trimestralmente (n=4) ? Mensalmente (n=12) ? Diariamente (n=365) ? Determine a quantidade de dinheiro que estará na conta em 10 anos se os juros forem compostos continuamente, ou seja, como

Passo 1

O enunciado diz que investimos 1000 reais a 7\% ao ano, capitalizados n vezes por ano, durante 10 anos. O montante é dado por
M(n)=1000\Bigl(1+\frac{0.07}{n}\Bigr)^{10n}.
Vamos calcular M(4), M(12), M(365) e depois o caso de capitalização contínua n\to\infty.

Passo 2

Para juros trimestrais n=4 temos
M(4)=1000\Bigl(1+\frac{0.07}{4}\Bigr)^{40} =1000\,(1.0175)^{40}.
Usando \ln(1.0175)\approx0.017354
\ln M(4)=\ln(1000)+40\cdot0.017354\approx\ln(1000)+0.69417,
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M(4)\approx1000\,e^{0.69417}\approx1000\cdot2.002\approx2002.

Passo 3

Para juros mensais n=12
M(12)=1000\Bigl(1+\frac{0.07}{12}\Bigr)^{120} =1000\,(1.0058333)^{120}.
Como \ln(1.0058333)\approx0.005816,
\ln M(12)=\ln(1000)+120\cdot0.005816\approx\ln(1000)+0.6979,
portanto
M(12)\approx1000\,e^{0.6979}\approx1000\cdot2.0096\approx2009{,}6.

Passo 4

Para juros diários n=365
M(365)=1000\Bigl(1+\frac{0.07}{365}\Bigr)^{3650} =1000\,(1.00019178)^{3650}.
Com \ln(1.00019178)\approx0.00019176,
\ln M(365)=\ln(1000)+3650\cdot0.00019176\approx\ln(1000)+0.7001,
e
M(365)\approx1000\,e^{0.7001}\approx1000\cdot2.014\approx2014.

Passo 5

Para capitalização contínua toma-se o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}1000\Bigl(1+\frac{0.07}{n}\Bigr)^{10n} =1000\,e^{0.07\cdot10} =1000\,e^{0.7}.
Sabendo que e^{0.7}\approx2.01375, concluímos
1000\,e^{0.7}\approx2013{,}75.

Resposta

Juros trimestrais n=4: aproximadamente R\$\,2002.
Juros mensais n=12: aproximadamente R\$\,2009{,}6.
Juros diários n=365: aproximadamente R\$\,2014.
Capitalização contínua: 1000e^{0.7}\approx R\$\,2013{,}75.

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