Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow p} \frac{\cos \left(x^{2}-\mu^{2}\right)-1}{x-p}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to p}\frac{\cos\bigl(x^{2}-\mu^{2}\bigr)-1}{x-p}.
Isso é exatamente a definição de derivada da função
f(x)=\cos\bigl(x^{2}-\mu^{2}\bigr)-1
no ponto x=p.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
\lim_{x \to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=f'(p).
Como f(p)=\cos\bigl(p^{2}-\mu^{2}\bigr)-1, o limite desejado vale f'(p).

Passo 3

Vamos calcular f'(x) usando a regra da cadeia. Primeiro seja
u(x)=x^{2}-\mu^{2},
então
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)-1.
Derivando,
u'(x)=2x, \qquad \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Logo,
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\sin\bigl(x^{2}-\mu^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 4

Basta agora avaliar em x=p:
f'(p)=-2p\,\sin\bigl(p^{2}-\mu^{2}\bigr).

Resposta

\lim_{x \to p}\frac{\cos\bigl(x^{2}-\mu^{2}\bigr)-1}{x-p} =-2p\,\sin\bigl(p^{2}-\mu^{2}\bigr).

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