101 SSM Una piedra se lanza horizontalmente desde lo alto de una cuesta que forma un ángulo
con la horizontal. Si la velocidad inicial de la piedra es
. ¿a qué distancia caerá sobre la cuesta?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma pedra lançada horizontalmente do topo de uma rampa que faz ângulo
com a horizontal, com velocidade inicial
. Precisamos achar a distância medida ao longo da rampa, desde o ponto de lançamento até o ponto de impacto. O conteúdo que vamos usar é a cinemática de projéteis (equações horária e vertical) e a geometria analítica da reta inclinada.
Passo 2
Definimos um sistema de coordenadas com origem no ponto de lançamento, eixo
horizontal para a direita e eixo
vertical para cima. Como o lançamento é horizontal, as equações da posição em função do tempo
são
Passo 3
A rampa é uma reta que parte da origem com declive para baixo dado por
. Sua equação é
No ponto de impacto, as coordenadas da pedra satisfazem simultaneamente as equações de movimento e a equação da rampa. Logo, substituindo
e
na equação da reta:
Passo 4
Da equação
descartamos a solução trivial
e obtemos
A seguir, a coordenada horizontal de impacto é
Passo 5
A distância ao longo da rampa,
, é a projeção do vetor
sobre a direção da reta, mas basta dividir a projeção horizontal por
: