101 SSM Una piedra se lanza horizontalmente desde lo alto de una cuesta que forma un ángulo theta con la horizontal. Si la velocidad inicial de la piedra es v0. ¿a qué distancia caerá sobre la cuesta?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma pedra lançada horizontalmente do topo de uma rampa que faz ângulo theta com a horizontal, com velocidade inicial ,v0. Precisamos achar a distância medida ao longo da rampa, desde o ponto de lançamento até o ponto de impacto. O conteúdo que vamos usar é a cinemática de projéteis (equações horária e vertical) e a geometria analítica da reta inclinada.

Passo 2

Definimos um sistema de coordenadas com origem no ponto de lançamento, eixo x horizontal para a direita e eixo y vertical para cima. Como o lançamento é horizontal, as equações da posição em função do tempo t são
x(t) = v0,t,
y(t) = -tfrac12,g,t^2

Passo 3

A rampa é uma reta que parte da origem com declive para baixo dado por -tantheta. Sua equação é
y = -x,tantheta
No ponto de impacto, as coordenadas da pedra satisfazem simultaneamente as equações de movimento e a equação da rampa. Logo, substituindo x(t) e y(t) na equação da reta:
-tfrac12,g,t^2 = -l(v0,tr)tantheta

Passo 4

Da equação
tfrac12,g,t^2 = v0,t,tantheta
descartamos a solução trivial t=0 e obtemos
t = 2,v0,tanthetag
A seguir, a coordenada horizontal de impacto é
xrm imp = v0,t = 2,v0^2,tanthetag

Passo 5

A distância ao longo da rampa, d, é a projeção do vetor (xrm imp,yrm imp) sobre a direção da reta, mas basta dividir a projeção horizontal por costheta:
d = xrm impcostheta = 1costheta,2,v0^2,tanthetag = 2,v0^2,sinthetag,cos^2theta

Resposta

d = 2,v0^2,sinthetag,cos^2theta

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