91 Una bala de cañón se dispara con una velocidad inicial de 42,2 m / s. desde una altura de 40 m y con un ángulo de 30^circ por encima de la horizontal. Encontrar el alcance de la bala.

Passo 1

O enunciado diz que uma bala de canhão é disparada com velocidade inicial 42,2 m/s a partir de uma altura de 40 m e com ângulo de 30^circ acima da horizontal. Queremos o alcance horizontal até a bala atingir o solo ( y=0). Vamos usar as equações paramétricas do movimento uniformemente acelerado:
x(t)=v0x,t,
y(t)=y0+v0y,t-tfrac12,g,t^2

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
v0x=v0costheta, v0y=v0sintheta
Substituindo v0=42,2 m/s e theta=30^circ:
v0x=42,2cos(30^circ)=42,2cdotraiz32approx36,56 m/s,
v0y=42,2sin(30^circ)=42,2cdot12=21,1 m/s

Passo 3

Para achar o tempo de voo tf, impondo y(tf)=0:
0=40+21,1,tf-tfrac12cdot9,8,tf^2
Reescrevendo em forma padrão:
4,9,tf^2-21,1,tf-40=0

Passo 4

Aplicando a fórmula da equação quadrática:
tf=21,1pmraiz(21,1)^2+4cdot4,9cdot402cdot4,9
O discriminante é
De<a=(21,1)^2+4cdot4,9cdot40approx445,21+784=1229,21,
raizDe<aapprox35,05
Então
tf=21,1+35,059,8approx5,73 s
(desprezamos a raiz negativa).

Passo 5

O alcance horizontal R é
R=v0x,tfapprox36,56 m/stimes5,73 sapprox209,5 m

Resposta

O alcance da bala é aproximadamente 210 metros.

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