DESAFIO:
Um elétron com energia cinética 30 eV incide sobre uma barreira de potencial de 40 eV . Faça um gráfico da transmitância
em função da largura
da barreira e explique
fenômeno que se observa nesta situação.
Dados:
massa do elétron
Um elétron com energia cinética 30 eV incide sobre uma barreira de potencial de 40 eV . Faça um gráfico da transmitância
massa do elétron
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron com energia cinética de 30 eV que encontra uma barreira de potencial de 40 eV. Nosso objetivo é fazer um gráfico que mostre como a transmitância
varia com a largura
dessa barreira e explicar o que está acontecendo nesse cenário. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre como partículas como elétrons podem “atravessar” barreiras de potencial mesmo quando sua energia é menor que a da barreira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é transmitância
. Em mecânica quântica, a transmitância é a probabilidade de um elétron atravessar a barreira de potencial. Quando a energia do elétron é menor que a da barreira, clássicamente ele não conseguiria passar, mas na mecânica quântica, há uma chance dele “tunelar” através da barreira.
Passo 3
Para calcular
, usamos a fórmula de tunelamento quântico para uma barreira retangular:
onde
é dado por:
Aqui,
é a massa do elétron,
é a altura da barreira de potencial,
é a energia cinética do elétron, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na expressão de
:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora que temos
, podemos expressar a transmitância
em função da largura
:
Isso mostra que
depende exponencialmente da largura
. Quanto maior
, menor será
.
Passo 6
Para fazer o gráfico de
em função de
, podemos escolher alguns valores de
e calcular
:
Por exemplo:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Isso mostra que
diminui rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 7
O fenômeno observado aqui é o tunelamento quântico. Mesmo com a energia do elétron sendo menor que a barreira de potencial, há uma probabilidade finita de o elétron “tunelar” através da barreira devido às propriedades ondulatórias das partículas na mecânica quântica. Quanto mais larga for a barreira, menor será essa probabilidade, como vimos no nosso gráfico.
Resposta
A transmitância
diminui exponencialmente conforme a largura
da barreira aumenta, demonstrando o fenômeno de tunelamento quântico onde um elétron com energia inferior à da barreira ainda tem uma probabilidade de atravessá-la. O gráfico de
versus
mostraria uma curva descendo rapidamente à medida que
aumenta.