DESAFIO:
Um elétron com energia cinética 30 eV incide sobre uma barreira de potencial de 40 eV . Faça um gráfico da transmitância T em função da largura L da barreira e explique o fenômeno que se observa nesta situação.
Dados:
massa do elétron =9,11 cdot 10^-31 kg
l h=6,63 cdot 10^-34 J s 1 eV=1,6 cdot 10^-19 J

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron com energia cinética de 30 eV que encontra uma barreira de potencial de 40 eV. Nosso objetivo é fazer um gráfico que mostre como a transmitância T varia com a largura L dessa barreira e explicar o que está acontecendo nesse cenário. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre como partículas como elétrons podem “atravessar” barreiras de potencial mesmo quando sua energia é menor que a da barreira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é transmitância T . Em mecânica quântica, a transmitância é a probabilidade de um elétron atravessar a barreira de potencial. Quando a energia do elétron é menor que a da barreira, clássicamente ele não conseguiria passar, mas na mecânica quântica, há uma chance dele “tunelar” através da barreira.

Passo 3

Para calcular T , usamos a fórmula de tunelamento quântico para uma barreira retangular:
T approx e^-2 gamma L
onde gamma é dado por:
gamma = raiz2m(V - E)hbar^2
Aqui, m é a massa do elétron, V é a altura da barreira de potencial, E é a energia cinética do elétron, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Sabemos que:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na expressão de :
Fazendo as contas:

Passo 5

Agora que temos gamma , podemos expressar a transmitância T em função da largura L :
T approx e^-2 times 1,63 times 10^10 times L = e^-3,26 times 10^10 L
Isso mostra que T depende exponencialmente da largura L . Quanto maior L , menor será T .

Passo 6

Para fazer o gráfico de T em função de L , podemos escolher alguns valores de L e calcular T :
Por exemplo:
  • Para L = 1 times 10^-10 , m :
T approx e^-3,26 times 10^10 times 1 times 10^-10 = e^-3,26 approx 0,04
  • Para L = 2 times 10^-10 , m :
T approx e^-6,52 approx 0,0015
E assim por diante. Isso mostra que T diminui rapidamente à medida que L aumenta.

Passo 7

O fenômeno observado aqui é o tunelamento quântico. Mesmo com a energia do elétron sendo menor que a barreira de potencial, há uma probabilidade finita de o elétron “tunelar” através da barreira devido às propriedades ondulatórias das partículas na mecânica quântica. Quanto mais larga for a barreira, menor será essa probabilidade, como vimos no nosso gráfico.

Resposta

A transmitância T diminui exponencialmente conforme a largura L da barreira aumenta, demonstrando o fenômeno de tunelamento quântico onde um elétron com energia inferior à da barreira ainda tem uma probabilidade de atravessá-la. O gráfico de T versus L mostraria uma curva descendo rapidamente à medida que L aumenta.

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