97 En el texto, se ha calculado que el alcance de un proyectil cuando cae a la misma altura desde la que ha sido disparado es R=(v0^7 / g) sen(2 theta0). Demostrar que el cambio en el alcance causado por una pequeña variación de la velocidad inicial viene dado por De<a R / R=2 De<a v0 / v0.

Passo 1

Resumindo, o alcance de um projétil lançado e aterrado na mesma altura vale
R = v0^2g,sinl(2theta0r),
e queremos ver como uma pequena variação De<a v0 afeta R, ou seja, calcular De<a R/R.

Passo 2

Usamos o conceito de diferencial: tratamos R como função de v0 (mantendo theta0 fixo) e computamos
dRdv0 = ddv0l(v0^2gsin(2theta0)r) = 2,v0g,sin(2theta0)
Por outro lado, da expressão original temos
R = v0^2g,sin(2theta0) Longrightarrow sin(2theta0) = g,Rv0^2
Substituindo em dR/dv0:
dRdv0 = 2,v0gcdotg,Rv0^2 = 2Rv0

Passo 3

Para variações pequenas, aproximamos De<a R approx tfracdRdv0,De<a v0. Logo
De<a R approx 2Rv0,De<a v0 Longrightarrow De<a RR approx 2,De<a v0v0

Resposta

De<a RR = 2,De<a v0v0

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