Em um estudo clínico, uma amostra de 35 pacientes apresentou uma média de recuperação de 20 dias com desvio padrão de 5 dias. Calcule a probabilidade de que a média da amostra esteja entre 18 e 22 dias.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Tamanho da amostra: n=35.
  • Média amostral: \bar{x}=20 dias.
  • Desvio padrão amostral: s=5 dias.
  • Pergunta: calcular a probabilidade de que a média da amostra esteja entre 18 e 22 dias, isto é, calcular P(18 \le \bar{X} \le 22).

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar): quando se tira uma amostra de tamanho n de uma população, a distribuição da média amostral \bar{X} tende a ser aproximadamente normal para n suficientemente grande (Teorema Central do Limite). A média dessa distribuição é a média verdadeira \mu e o desvio padrão dessa distribuição é a chamada erro padrão, dado por \sigma/\sqrt{n} se \sigma for o desvio padrão populacional. Como normalmente não conhecemos \sigma, usamos o desvio amostral s para estimar o erro padrão:
\widehat{\text{SE}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Como n=35 é maior que 30, é aceitável usar a aproximação normal (esta é a abordagem mais simples e usual em provas rápidas). Alternativa mais refinada seria usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade; isso faria pouca diferença aqui porque n é razoavelmente grande. Vou seguir a aproximação normal para calcular a probabilidade pedida.

Passo 3

Calcular o erro padrão estimado \widehat{\text{SE}}:
\widehat{\text{SE}}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{35}}.
Agora a raiz:
\sqrt{35}\approx 5,91608,
portanto
\widehat{\text{SE}}\approx \frac{5}{5,91608}\approx 0,84515.

Passo 4

Padronizar os limites 18 e 22 para obter os escores z. A fórmula do escore é
z=\frac{\text{valor} - \text{média}}{\widehat{\text{SE}}}.é
Para o limite inferior 18:
z_{\text{inf}}=\frac{18-20}{0,84515}=\frac{-2}{0,84515}\approx -2,3664.
Para o limite superior 22:
z_{\text{sup}}=\frac{22-20}{0,84515}=\frac{2}{0,84515}\approx 2,3664.
(Repare que os z são simétricos porque os limites estão simetricamente dispostos em relação à média 20.)

Passo 5

Converter os z em probabilidades usando a tabela da normal padrão (ou calculadora). Se \Phi(z) denota a função de distribuição acumulada da normal padrão, então
P(18\le \bar{X}\le 22)=\Phi(z_{\text{sup}})-\Phi(z_{\text{inf}}).
Pela simetria da normal \Phi(-a)=1-\Phi(a), então
\Phi(z_{\text{sup}})-\Phi(z_{\text{inf}})=\Phi(2,3664)-\Phi(-2,3664)=2\Phi(2,3664)-1.
Usando tabela/ calculadora, \Phi(2,3664)\approx 0,9910. Portanto
P(18\le \bar{X}\le 22)\approx 2\cdot 0,9910 - 1 = 0,9820.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento: a probabilidade de que a média da amostra de tamanho 35 esteja entre 18 e 22 dias é aproximadamente 0,982, ou seja, cerca de 98{,}2\%. Bom trabalho — fica a dica: quando os limites são simétricos em torno da média, a padronização e a simetria da normal tornam a conta bem direta!

Resposta

0,982\\ (\approx 98{,}2\%)

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