Em um estudo clínico, uma amostra de 35 pacientes apresentou uma média de recuperação de 20 dias com desvio padrão de 5 dias. Calcule a probabilidade de que a média da amostra esteja entre 18 e 22 dias.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
dias. - Desvio padrão amostral:
dias. - Pergunta: calcular a probabilidade de que a média da amostra esteja entre
e dias, isto é, calcular
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método que vamos usar): quando se tira uma amostra de tamanho
de uma população, a distribuição da média amostral
tende a ser aproximadamente normal para
suficientemente grande (Teorema Central do Limite). A média dessa distribuição é a média verdadeira
e o desvio padrão dessa distribuição é a chamada erro padrão, dado por
se
for o desvio padrão populacional. Como normalmente não conhecemos
, usamos o desvio amostral
para estimar o erro padrão:
Como
é maior que
, é aceitável usar a aproximação normal (esta é a abordagem mais simples e usual em provas rápidas). Alternativa mais refinada seria usar a distribuição
com
graus de liberdade; isso faria pouca diferença aqui porque
é razoavelmente grande. Vou seguir a aproximação normal para calcular a probabilidade pedida.
Passo 3
Calcular o erro padrão estimado
:
Agora a raiz:
portanto
Passo 4
Padronizar os limites
e
para obter os escores
. A fórmula do escore é
Para o limite inferior
:
Para o limite superior
:
(Repare que os
são simétricos porque os limites estão simetricamente dispostos em relação à média
.)
Passo 5
Converter os
em probabilidades usando a tabela da normal padrão (ou calculadora). Se
denota a função de distribuição acumulada da normal padrão, então
Pela simetria da normal
, então
Usando tabela/ calculadora,
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e arredondamento: a probabilidade de que a média da amostra de tamanho
esteja entre
e
dias é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Bom trabalho — fica a dica: quando os limites são simétricos em torno da média, a padronização e a simetria da normal tornam a conta bem direta!