Dados históricos de uma universidade indicam que determinado curso tem taxa de reprovação de 20%. Cada turma do curso tem 25 estudantes. Determine, se possível, a probabilidade de 1/3 dos alunos serem reprovados em:
(a) 5 alunos serem reprovados em 1 turma.
(b) 10 alunos serem reprovados em 2 turmas.
(a) 5 alunos serem reprovados em 1 turma.
(b) 10 alunos serem reprovados em 2 turmas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui foi extraído do enunciado):
- A taxa histórica de reprovação é
. - Cada turma tem
estudantes. - O enunciado pede a probabilidade de “um terço dos alunos serem reprovados” em dois cenários:
- (a) considerando
turma (o enunciado menciona também the caso “5 alunos serem reprovados em 1 turma”); - (b) considerando
turmas (o enunciado menciona também o caso “10 alunos serem reprovados em 2 turmas”).
- (a) considerando
As perguntas que precisamos responder são, portanto:
- (a) Qual é a probabilidade de exatamente um terço dos alunos de uma turma serem reprovados?
- (b) Qual é a probabilidade de exatamente um terço dos alunos de duas turmas (todas juntas) serem reprovados?
Obs.: Anotei também que o enunciado cita contagens concretas (
na turma simples e
nas duas turmas); vou usar essas contagens apenas quando fizer sentido para comparar com “um terço”.
Passo 2
Modelo probabilístico adequado e revisão da fórmula (aula rápida e prática).
- Quando cada estudante tem, de forma independente, probabilidade
de reprovar, o número de reprovados em uma amostra de tamanho é descrito pela distribuição binomial. - Definição e fórmula: se
é o número de reprovados, então
onde:
-
é o número total de estudantes considerados, -
é o número de reprovados (um inteiro entre e ), -
é a probabilidade de reprovação de cada estudante (aqui ), -
é o coeficiente binomial (quantas maneiras escolher quais pessoas reprovaram). - Importante:
só pode assumir valores inteiros. Logo, pedir a probabilidade de “um terço dos alunos” implica verificar se é um número inteiro; caso contrário é impossível que exatamente um terço (no sentido exato) seja reprovado, porque não se pode ter um número não-inteiro de alunos reprovados.
Passo 3
Aplicação ao caso (a):
turma.
- Aqui o total é
. Um terço dos alunos seria
- Como
não é um número inteiro, NÃO existe um valor inteiro tal que . O número de reprovados só pode ser inteiro, portanto a probabilidade de acontecer exatamente “um terço dos alunos” reprovados é
- Comentário pedagógico: muitas vezes, em linguagem coloquial, alguém pode perguntar “qual a probabilidade de cerca de um terço reprovar?” — nesse caso a pergunta seria diferente (por exemplo,
ou ). Mas a pergunta literal “um terço” exige igualdade exata, e aí é impossível.
Passo 4
Aplicação ao caso (b):
turmas.
- Duas turmas juntas têm total
estudantes. Um terço seria
- De novo,
não é inteiro, então não existe um inteiro tal que . Assim a probabilidade de exatamente um terço dos alunos (das duas turmas somadas) ser reprovado é
Passo 5
Interpretação das contagens mencionadas (
e
) e nota final de ajuda (opcional, para a prova).
- Observação rápida: o enunciado menciona “5 alunos serem reprovados em 1 turma” e “10 alunos serem reprovados em 2 turmas”. Essas contagens correspondem a taxas:
-
(ou seja, ), que coincide com a taxa histórica . -
(outra vez ).
Portantoe NÃO são iguais a um terço dos respectivos totais; são exatamente a taxa histórica de .
-
- Se for útil na prova: para calcular a probabilidade de exatamente
reprovações em uma turma usa-se a fórmula binomial com e :
e para exatamente
reprovações em
alunos (duas turmas) usa-se
e
:
Essas duas probabilidades são calculáveis com a fórmula binomial (normalmente com calculadora ou software), mas NÃO são pedidos no enunciado original, que perguntou especificamente sobre “um terço”.
Resposta
(a) 0
(b) 0