Dados históricos de uma universidade indicam que determinado curso tem taxa de reprovação de 20%. Cada turma do curso tem 25 estudantes. Determine, se possível, a probabilidade de 1/3 dos alunos serem reprovados em:
(a) 5 alunos serem reprovados em 1 turma.
(b) 10 alunos serem reprovados em 2 turmas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui foi extraído do enunciado):
  • A taxa histórica de reprovação é \,p=0{,}20.
  • Cada turma tem \,25 estudantes.
  • O enunciado pede a probabilidade de “um terço dos alunos serem reprovados” em dois cenários:
    • (a) considerando 1 turma (o enunciado menciona também the caso “5 alunos serem reprovados em 1 turma”);
    • (b) considerando 2 turmas (o enunciado menciona também o caso “10 alunos serem reprovados em 2 turmas”).
As perguntas que precisamos responder são, portanto:
  • (a) Qual é a probabilidade de exatamente um terço dos alunos de uma turma serem reprovados?
  • (b) Qual é a probabilidade de exatamente um terço dos alunos de duas turmas (todas juntas) serem reprovados?
Obs.: Anotei também que o enunciado cita contagens concretas ( 5 na turma simples e 10 nas duas turmas); vou usar essas contagens apenas quando fizer sentido para comparar com “um terço”.

Passo 2

Modelo probabilístico adequado e revisão da fórmula (aula rápida e prática).
  • Quando cada estudante tem, de forma independente, probabilidade \,p de reprovar, o número de reprovados em uma amostra de tamanho \,n é descrito pela distribuição binomial.
  • Definição e fórmula: se X é o número de reprovados, então
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \,n é o número total de estudantes considerados,
  • \,k é o número de reprovados (um inteiro entre 0 e n),
  • \,p é a probabilidade de reprovação de cada estudante (aqui p=0{,}20),
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (quantas maneiras escolher quais k pessoas reprovaram).
  • Importante: X só pode assumir valores inteiros. Logo, pedir a probabilidade de “um terço dos alunos” implica verificar se \dfrac{n}{3} é um número inteiro; caso contrário é impossível que exatamente um terço (no sentido exato) seja reprovado, porque não se pode ter um número não-inteiro de alunos reprovados.

Passo 3

Aplicação ao caso (a): 1 turma.
  • Aqui o total é \,n=25. Um terço dos alunos seria
\frac{n}{3}=\frac{25}{3}=8{,}333\ldots
  • Como \dfrac{25}{3} não é um número inteiro, NÃO existe um valor inteiro k tal que k=\dfrac{25}{3}. O número de reprovados X só pode ser inteiro, portanto a probabilidade de acontecer exatamente “um terço dos alunos” reprovados é
P\Bigl(X=\tfrac{25}{3}\Bigr)=0.
  • Comentário pedagógico: muitas vezes, em linguagem coloquial, alguém pode perguntar “qual a probabilidade de cerca de um terço reprovar?” — nesse caso a pergunta seria diferente (por exemplo, P(X=8\\ \text{ou}\\\ 9) ou P(|X/n-1/3|<\varepsilon)). Mas a pergunta literal “um terço” exige igualdade exata, e aí é impossível.

Passo 4

Aplicação ao caso (b): 2 turmas.
  • Duas turmas juntas têm total \,n=2\times25=50 estudantes. Um terço seria
\frac{n}{3}=\frac{50}{3}=16{,}666\ldots
  • De novo, \dfrac{50}{3} não é inteiro, então não existe um inteiro k tal que k=\dfrac{50}{3}. Assim a probabilidade de exatamente um terço dos alunos (das duas turmas somadas) ser reprovado é
P\Bigl(X=\tfrac{50}{3}\Bigr)=0.

Passo 5

Interpretação das contagens mencionadas ( 5 e 10) e nota final de ajuda (opcional, para a prova).
  • Observação rápida: o enunciado menciona “5 alunos serem reprovados em 1 turma” e “10 alunos serem reprovados em 2 turmas”. Essas contagens correspondem a taxas:
    • 5/25=0{,}20 (ou seja, 20\%), que coincide com a taxa histórica p=0{,}20.
    • 10/50=0{,}20 (outra vez 20\%).
      Portanto 5 e 10 NÃO são iguais a um terço dos respectivos totais; são exatamente a taxa histórica de 20\%.
  • Se for útil na prova: para calcular a probabilidade de exatamente 5 reprovações em uma turma usa-se a fórmula binomial com n=25 e k=5:
P(X=5)=\binom{25}{5}\,0{,}2^{5}\,0{,}8^{20},
e para exatamente 10 reprovações em 50 alunos (duas turmas) usa-se n=50 e k=10:
P(X=10)=\binom{50}{10}\,0{,}2^{10}\,0{,}8^{40}.
Essas duas probabilidades são calculáveis com a fórmula binomial (normalmente com calculadora ou software), mas NÃO são pedidos no enunciado original, que perguntou especificamente sobre “um terço”.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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