3.33 For each system
and the functions
given below, determine if each of the
is an eigenfunction of
, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
, where
is a strictly positive real constant.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O operador dado é
definido por . - As funções a testar são:
-
, onde é uma constante real estritamente positiva. -
. -
.
-
- O que é pedido: para cada
determinar se ela é uma função própria (autofunção) de . Ou seja, verificar se existe um escalar tal que, para todo ,
Se for autofunção, também indicar o valor de
.
Passo 2
Explicar didaticamente o que significa ser autofunção aqui.
- Definição usada: uma função
é autofunção de se existe um número (autovalor) tal que, para todo ,
- No nosso caso
. Então a condição a verificar é, para todo ,
- Observação importante (passo conceitual): essa igualdade deve valer para todos os
do domínio considerado (assumimos aqui , o que é o usual). Portanto se a igualdade só vale para alguns mas falha para outros, então não é autofunção (pois deve ser único e fixo para todos os ).
Passo 3
Testando
com
.
- Calcular
:
- Como
, tem-se . Logo
- Queremos
. Substituindo obtém-se
- Como
é estritamente positivo, podemos dividir por e obter
- Conclusão:
satisfaz para todo . Portanto é autofunção com autovalor .
Passo 4
Testando
.
- Calcular
:
- A condição seria
para todo . - Analisar em duas regiões do eixo real:
- Se
, então , e a igualdade exige , logo . - Se
, então , e a igualdade exige , logo .
- Se
- Temos contradição: para
é necessário e para é necessário . Não existe um único que funcione para todos os simultaneamente. - Observação sobre
: em ambas as lados valem , mas isso não resolve a contradição nos outros pontos. - Conclusão:
NÃO é autofunção de .
Passo 5
Testando
.
- Calcular
:
- Como
para todo , tem-se . Então
- A condição
fica
- Para
pode-se dividir por e obter . Em ambos os lados são zero e também compatíveis com . - Conclusão:
é autofunção de com autovalor .
Passo 6
Comentário final curto e incentivo.
- Resultado intuitivo: qualquer função que já seja não negativa ponto a ponto (como constantes positivas e
) sai inalterada pelo operador , então tem autovalor . Funções que mudam sinal (como ) não admitirão um único escalar que as transforme em para todo . - Força aí — você já viu a ideia: verificar ponto a ponto e pensar em sinais é a técnica-chave para esses exercícios.