3.33 For each system \mathscr{K} and the functions \left\{x_{k}\right\} given below, determine if each of the x_{k} is an eigenfunction of \mathscr{K}, and if it is, also state the corresponding eigenvalue.
\mathcal{H}\left(x(t)=|x(t)|, x_{1}(t)=a, x_{2}(t)=t, x_{3}(t)=t^{2}\right., where a is a strictly positive real constant.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O operador dado é \mathcal{H} definido por \mathcal{H}(x(t)) = |x(t)|.
  • As funções a testar são:
    • x_{1}(t)=a, onde a é uma constante real estritamente positiva.
    • x_{2}(t)=t.
    • x_{3}(t)=t^{2}.
  • O que é pedido: para cada x_{k} determinar se ela é uma função própria (autofunção) de \mathcal{H}. Ou seja, verificar se existe um escalar \lambda tal que, para todo t,
\mathcal{H}(x_{k})(t)=\lambda\,x_{k}(t).
Se for autofunção, também indicar o valor de \lambda.

Passo 2

Explicar didaticamente o que significa ser autofunção aqui.
  • Definição usada: uma função x(t) é autofunção de \mathcal{H} se existe um número (autovalor) \lambda tal que, para todo t,
\mathcal{H}(x)(t)=\lambda x(t).
  • No nosso caso \mathcal{H}(x)(t)=|x(t)|. Então a condição a verificar é, para todo t,
|x(t)|=\lambda x(t).
  • Observação importante (passo conceitual): essa igualdade deve valer para todos os t do domínio considerado (assumimos aqui t\in\mathbb{R}, o que é o usual). Portanto se a igualdade só vale para alguns t mas falha para outros, então não é autofunção (pois \lambda deve ser único e fixo para todos os t).

Passo 3

Testando x_{1}(t)=a com a>0.
  • Calcular \mathcal{H}(x_{1})(t):
\mathcal{H}(x_{1})(t)=|a|.
  • Como a>0, tem-se |a|=a. Logo
\mathcal{H}(x_{1})(t)=a.
  • Queremos |a|=\lambda a. Substituindo |a|=a obtém-se
a=\lambda a.
  • Como a é estritamente positivo, podemos dividir por a e obter
\lambda=1.
  • Conclusão: x_{1}(t)=a satisfaz \mathcal{H}(x_{1})=1\cdot x_{1} para todo t. Portanto x_{1} é autofunção com autovalor \lambda=1.

Passo 4

Testando x_{2}(t)=t.
  • Calcular \mathcal{H}(x_{2})(t):
\mathcal{H}(x_{2})(t)=|t|.
  • A condição seria |t|=\lambda t para todo t.
  • Analisar em duas regiões do eixo real:
    • Se t>0, então |t|=t, e a igualdade exige t=\lambda t, logo \lambda=1.
    • Se t<0, então |t|=-t, e a igualdade exige -t=\lambda t, logo \lambda=-1.
  • Temos contradição: para t>0 é necessário \lambda=1 e para t<0 é necessário \lambda=-1. Não existe um único \lambda que funcione para todos os t simultaneamente.
  • Observação sobre t=0: em t=0 ambas as lados valem 0, mas isso não resolve a contradição nos outros pontos.
  • Conclusão: x_{2}(t)=t NÃO é autofunção de \mathcal{H}.

Passo 5

Testando x_{3}(t)=t^{2}.
  • Calcular \mathcal{H}(x_{3})(t):
\mathcal{H}(x_{3})(t)=|t^{2}|.
  • Como t^{2}\ge 0 para todo t, tem-se |t^{2}|=t^{2}. Então
\mathcal{H}(x_{3})(t)=t^{2}.
  • A condição |t^{2}|=\lambda t^{2} fica
t^{2}=\lambda t^{2}.
  • Para t\neq 0 pode-se dividir por t^{2} e obter \lambda=1. Em t=0 ambos os lados são zero e também compatíveis com \lambda=1.
  • Conclusão: x_{3}(t)=t^{2} é autofunção de \mathcal{H} com autovalor \lambda=1.

Passo 6

Comentário final curto e incentivo.
  • Resultado intuitivo: qualquer função que já seja não negativa ponto a ponto (como constantes positivas e t^{2}) sai inalterada pelo operador \mathcal{H}, então tem autovalor 1. Funções que mudam sinal (como t) não admitirão um único escalar \lambda que as transforme em |x(t)| para todo t.
  • Força aí — você já viu a ideia: verificar ponto a ponto e pensar em sinais é a técnica-chave para esses exercícios.

Resposta

x_{1}(t)=a é autofunção com \lambda=1.
x_{2}(t)=t não é autofunção.
x_{3}(t)=t^{2} é autofunção com \lambda=1.

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