(a) 1020 possui quantos divisores positivos?
(b) Exiba um múltiplo de 22 que possui exatamente 9 divisores positivos.
(b) Exiba um múltiplo de 22 que possui exatamente 9 divisores positivos.
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na parte (a) precisamos contar quantos divisores positivos tem o número 1020; na parte (b) queremos encontrar um múltiplo de 22 que tenha exatamente 9 divisores positivos. Para isso vamos usar fatoração em primos e a fórmula que dá o número de divisores de um inteiro a partir da sua fatoração.
Passo 2
Vamos fatorar
em primos. Note que
Portanto
Passo 3
Seja
o número de divisores positivos de
. Se
então
No nosso caso
Passo 4
Para a parte (b) queremos um número
tal que
e
. Como
ou
, os possíveis formatos de fatoração são
-
, ou -
com e primos distintos.
Masexige que tenha ao menos os fatores 2 e 11. O caso falha porque aí haveria apenas um primo. Logo adotamos o caso onde os primos são 2 e 11.
Passo 5
Escolhendo
e
temos
Verificamos que
e claramente
.
Resposta
(a)
(b)
(b)