(a) 1020 possui quantos divisores positivos?
(b) Exiba um múltiplo de 22 que possui exatamente 9 divisores positivos.

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na parte (a) precisamos contar quantos divisores positivos tem o número 1020; na parte (b) queremos encontrar um múltiplo de 22 que tenha exatamente 9 divisores positivos. Para isso vamos usar fatoração em primos e a fórmula que dá o número de divisores de um inteiro a partir da sua fatoração.

Passo 2

Vamos fatorar 1020 em primos. Note que
1020 = 10 times 102 = 2 times 5 times (2 times 51) = 2^2 times 5 times 3 times 17
Portanto
1020 = 2^2 cdot 3^1 cdot 5^1 cdot 17^1

Passo 3

Seja tau(n) o número de divisores positivos de n. Se
n = p1^a p2^b cdots pk^c,
então
tau(n) = (a+1)(b+1)cdots(c+1)
No nosso caso
tau(1020) = (2+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 3 times 2 times 2 times 2 = 24

Passo 4

Para a parte (b) queremos um número n tal que 22mid n e tau(n)=9. Como 9=9 ou 9=3times3, os possíveis formatos de fatoração são
  1. n=p^8, ou
  2. n=p^2q^2 com p e q primos distintos.
    Mas 22=2cdot11 exige que n tenha ao menos os fatores 2 e 11. O caso p^8 falha porque aí haveria apenas um primo. Logo adotamos o caso p^2q^2 onde os primos são 2 e 11.

Passo 5

Escolhendo p=2 e q=11 temos
n = 2^2 cdot 11^2 = 4 times 121 = 484
Verificamos que
tau(484) = (2+1)(2+1) = 9
e claramente 22mid484.

Resposta

(a) 24
(b) 484

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