1. (1+e^x) y y^prime=e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(1+e^xr),y,dydx=e^x,
que é uma equação separável, pois podemos escrever todos os termos envolvendo y de um lado e os de x do outro. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação isolando dy e dx:
y,dy = e^x1+e^x,dx
Aqui movemos dx para a direita e dividimos por 1+e^x, deixando y,dy só no lado esquerdo.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral y,dy = integral e^x1+e^x,dx
No lado esquerdo
integral y,dy = y^22
No lado direito, usamos a substituição u=1+e^x, logo du=e^xdx, ficando
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = lnl|ur| = lnl(1+e^xr)

Passo 4

Igualando e adicionando a constante de integração C, temos
y^22 = lnl(1+e^xr) + C
Multiplicando por 2 e renomeando constante ( C1=2C), obtemos
y^2 = 2,lnl(1+e^xr) + C1

Resposta

y(x) = pmraiz2,lnl(1+e^xr) + C1,
onde C1 é constante arbitrária de integração.

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