Calcule, usando a integral tripla, o volume dos seguintes sólidos:
W é o sólido limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano x y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano xy (isto é, z=0). O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cilíndricas para calcular volumes via integral tripla. Vamos precisar usar a mudança
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com Jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as fronteiras viram:
  • Cilindro: x^2+y^2=4 torna-se r=2.
  • Paraboloide: z=r^2.
  • Plano xy: z=0.
    Logo r varia de 0 a 2, theta de 0 a 2pi e z de 0 a r^2.

Passo 3

Escrevemos a integral tripla do volume:
V=integral triplaWdV =integral0^2piintegral0^2integral0^r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro, integramos em z:
integral0^r^2r,dz =rl[zr]0^r^2 =rcdot r^2 =r^3
Agora a integral reduz-se a
V=integral0^2piintegral0^2r^3,dr,dtheta

Passo 5

Integramos em r e depois em theta:
integral0^2r^3,dr =[r^44]0^2 =164 =4,
V=integral0^2pi4,dtheta =4cdot2pi =8pi

Resposta

O volume de W é 8pi.

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