Calcule, usando a integral tripla, o volume dos seguintes sólidos:
é o sólido limitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
(isto é,
). O conteúdo aqui é integrar em coordenadas cilíndricas para calcular volumes via integral tripla. Vamos precisar usar a mudança
com Jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas as fronteiras viram:
- Cilindro:
torna-se . - Paraboloide:
. - Plano
: .
Logovaria de a , de a e de a .
Passo 3
Escrevemos a integral tripla do volume:
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Agora a integral reduz-se a
Passo 5
Integramos em
e depois em
:
Resposta
O volume de
é
.