(a) Enuncie o Princípio da Boa Ordenação.
(b) Usando indução, prove que n^3-n é divisível por 3 para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) enunciar o Princípio da Boa Ordenação, que é um resultado sobre subconjuntos de inteiros positivos.
  • (b) usar indução para provar que n^3-n é divisível por 3 para todo inteiro n>=1.

Passo 2

O Princípio da Boa Ordenação diz que:
Todo subconjunto não vazio de N tem um menor elemento.

Passo 3

Base da indução ( n=1).
Para n=1 temos
1^3-1=1-1=0,
e 0 é múltiplo de 3. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 4

Passo indutivo.
Suponha que para algum k>=1 valha a propriedade, isto é,
k^3-k=3m
para certo inteiro m. Então, para n=k+1 temos
(k+1)^3-(k+1) = k^3+3k^2+3k+1 -k -1 = l(k^3-kr) + 3k(k+1)
Pela hipótese indutiva, k^3-k=3m, e 3k(k+1) é claramente múltiplo de 3. Assim
(k+1)^3-(k+1)=3m + 3k(k+1)=3l(m+k(k+1)r),
ou seja, é múltiplo de 3. Concluímos que a propriedade vale para k+1.
Pelo princípio da indução, n^3-n é divisível por 3 para todo inteiro n>=1.

Resposta

(a) Todo subconjunto não vazio de N tem um menor elemento.
(b) Por indução em n, mostramos que n^3-n é múltiplo de 3 para todo inteiro n>=1.

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