6. Derivadas

  • Calcule a derivada de f(x)=8 x^4+2 x^3-4 x+1
  • Calcule a derivada de f(x)=2 x^2+1x+1
  • Calcule a derivada de f(x)=raizx^2
  • Calcule a derivada de f(x)=sin (x) cdot cos (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=e^x^2
  • Calcule a derivada de f(x)=ln (sin (x))
  • Calcule a derivada de f(x)=x^3 cdot e^x
  • Calcule a derivada de f(x)=(x^2+1) cdot ln (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=x^3-2 x^2+1x^2-1
  • Calcule a derivada de f(x)=cos (x) cdot ln (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=5 cdot raizx^2-1
  • Calcule a derivada de f(x)=tan (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=arcsin (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=x cdot e^-x^2
  • Calcule a derivada de f(x)=raizx^2+1
  • Calcule a derivada de f(x)=sin ^2(x)+cos ^2(x)
  • Calcule a derivada de f(x)=e^cos (x)
  • Calcule a derivada de f(x)=x+1x-1
  • Calcule a derivada de f(x)=x^3 cdot ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de dezenove funções, envolvendo os seguintes conteúdos:
  • Derivada de polinômio
  • Regra do quociente
  • Regra do produto
  • Regra da cadeia (funções compostas)
  • Derivadas de funções elementares (exp, ln, trig e inversas)
  • Tratamento de raiz quadrada e valor absoluto
Nos passos seguintes aplicaremos cada técnica agrupando funções que usam a mesma regra.

Passo 2

Derivadas de polinômios simples por aplicação de l(x^nr)'=n,x^n-1:
f(x)=8x^4+2x^3-4x+1
f'(x)=32x^3+6x^2-4

Passo 3

Regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Aplicamos a três funções:
f(x)=2x^2+1x+1:
u=2x^2+1,;u'=4x, v=x+1,;v'=1
f'(x)=4x(x+1)-(2x^2+1)cdot1(x+1)^2 =2x^2+4x-1(x+1)^2
f(x)=x^3-2x^2+1x^2-1:
u=x^3-2x^2+1,;u'=3x^2-4x, v=x^2-1,;v'=2x
f'(x) =(3x^2-4x)(x^2-1)-(x^3-2x^2+1),2x(x^2-1)^2 =x^4-3x^2+2x(x^2-1)^2
f(x)=x+1x-1:
u=x+1,;u'=1, v=x-1,;v'=1
f'(x)=1cdot(x-1)-(x+1)cdot1(x-1)^2 =-2(x-1)^2

Passo 4

Derivadas que envolvem raiz quadrada e valor absoluto:
f(x)=raizx^2=|x|. Para xneq0,
f'(x)=x|x|
f(x)=5raizx^2-1. Use l(raizg(x)r)'=g'(x)2raizg(x):
g(x)=x^2-1,;g'(x)=2x
f'(x)=5;2x2raizx^2-1 =5xraizx^2-1
f(x)=raizx^2+1. Analogamente,
g(x)=x^2+1,;g'(x)=2x
f'(x)=2x2raizx^2+1 =xraizx^2+1

Passo 5

Regra do produto: se f=uv, então f'=u'v+uv'. Aplicamos a seis funções:
  1. f(x)=sin xcdotcos x:
    f'=cos xcdotcos x+sin xcdot(-sin x) =cos^2x-sin^2x
  2. f(x)=x^3e^x:
    f'=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(3+x)
  3. f(x)=(x^2+1)ln x:
    f'=2xln x+(x^2+1),1x =2xln x+x+1x
  4. f(x)=cos xcdotln x:
    f'=-sin xln x+cos xcdot1x =-ln x,sin x+cos xx
  5. f(x)=x,e^-x^2:
    u=x,;u'=1, v=e^-x^2,;v'=-2x,e^-x^2
f'=e^-x^2+x(-2x,e^-x^2) =e^-x^2(1-2x^2)
  1. f(x)=x^3ln x: u=x^3,;u'=3x^2, v=ln x,;v'=tfrac1x
f'=3x^2ln x+x^3cdot1x =3x^2ln x+x^2

Passo 6

Regra da cadeia em funções compostas e derivadas elementares:
  1. f(x)=e^x^2:
    f'=2x,e^x^2
  2. f(x)=lnl(sin xr):
    f'=1sin x,cos x =cot x
  3. f(x)=tan x:
    f'=sec^2x
  4. f(x)=arcsin x:
    f'=1raiz1-x^2
  5. f(x)=sin^2x+cos^2x:
    f'=2sin xcos x-2cos xsin x=0
  6. f(x)=e^cos x:
    f'=e^cos xcdot(-sin x) =-,sin x,e^cos x

Resposta

  1. (8x^4+2x^3-4x+1)'=32x^3+6x^2-4
  2. l(tfrac2x^2+1x+1r)'=tfrac2x^2+4x-1(x+1)^2
  3. l(raizx^2r)'=tfracx|x|(xneq0)
  4. (sin xcos x)'=cos^2x-sin^2x
  5. l(e^x^2r)'=2x,e^x^2
  6. l(ln(sin x)r)'=cot x
  7. (x^3e^x)'=x^2e^x(3+x)
  8. ((x^2+1)ln x)'=2xln x+x+tfrac1x
  9. l(tfracx^3-2x^2+1x^2-1r)'=tfracx^4-3x^2+2x(x^2-1)^2
  10. (cos xln x)'=-ln x,sin x+tfraccos xx
  11. l(5raizx^2-1r)'=tfrac5xraizx^2-1
  12. (tan x)'=sec^2x
  13. (arcsin x)'=tfrac1raiz1-x^2
  14. (x,e^-x^2)'=e^-x^2(1-2x^2)
  15. l(raizx^2+1r)'=tfracxraizx^2+1
  16. l(sin^2x+cos^2xr)'=0
  17. l(e^cos xr)'=-sin x,e^cos x
  18. l(tfracx+1x-1r)'=-tfrac2(x-1)^2
  19. (x^3ln x)'=3x^2ln x+x^2

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