*6.104 Um campo de escoamento é formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x, com U=10 m / s, e um vórtice de sentido anti-horário localizado na origem, com intensidade K=16 pi m^2 / s. Obtenha a função de corrente, o potencial de velocidade e o campo de velocidade para o escoamento combinado. Localize o(s) ponto(s) de estagnação do escoamento. Trace linhas de corrente e linhas de potencial. (Sugestão: Use a planilha Excel do Problema-Exemplo 6.10.)

Passo 1

O enunciado trata de superpor dois escoamentos em 2D:
– um escoamento uniforme no eixo x com velocidade U=10,m/s;
– um vórtice anti-horário de intensidade K=16pi, m^2/s na origem.
Queremos achar a função de corrente psi, o potencial de velocidade phi, o campo de velocidade (u,v), localizar pontos de estagnação e dar as equações das linhas de corrente psi=cte e de potencial phi=cte. Vamos usar o princípio de superposição em escoamentos potenciais.

Passo 2

Escrevemos primeiro as parcelas separadas.
Para o escoamento uniforme de módulo U em +x:
phirm uni(x,y)=U,x, psirm uni(x,y)=U,y
Para o vórtice de circulação K (anti-horário) na origem, em coordenadas polares (r,theta):
phirm vort(r,theta)=K2pi,theta, psirm vort(r)= -K2pi,ln r

Passo 3

Pela superposição, as funções totais são
phi(x,y)=phirm uni+phirm vort =U,x ;+;K2pi,theta,
psi(x,y)=psirm uni+psirm vort =U,y ;-;K2pi,ln!l(raizx^2+y^2r)

Passo 4

O campo de velocidade (u,v) vem de
u=partialphipartial x, v=partialphipartial y
Calculando em coordenadas cartesianas:
u(x,y) =U ;-;K2pi,yx^2+y^2, v(x,y) =U;+;K2pi,xx^2+y^2

Passo 5

Para encontrar ponto(s) de estagnação, impomos u=0 e v=0.
Da segunda equação v=0 vem x=0. Substituindo em u=0:
0 =U -K2pi,yy^2 ;Longrightarrow; U=K2pi,1y ;Longrightarrow; y=K2pi,U
Com K=16pi e U=10:
y=16pi2picdot10=0,8 rm m
Logo existe um único ponto de estagnação em
(x,y)=(0,,0,8)

Passo 6

As linhas de corrente são dadas por
psi(x,y)= U,y -K2piln!l(raizx^2+y^2r) =constante,
enquanto as equipotenciais são
phi(x,y)= U,x +K2pi,theta =constante
Para esboçar, basta traçar curvas de nível dessas duas expressões no plano (x,y).

Resposta

Funções e campo de velocidade:
psi(x,y)=U,y-K2piln!l(raizx^2+y^2r), phi(x,y)=U,x+K2pi,theta,
u(x,y)=U-K2piyx^2+y^2, v(x,y)=K2pixx^2+y^2
Ponto de estagnação: (0,,0,8).
Linhas de corrente: psi= cte; equipotenciais: phi= cte.

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