Considere uma esfera sólida de raio R, uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga rho.
(a) Determine o campo elétrico dentro (r<R) e fora (r>R) da esfera.
(b) Determine o potencial elétrico para um ponto no interior da esfera, usando o infinito como ponto de referência.

Passo 1

O problema trata de uma esfera maciça de raio R com densidade volumétrica de carga rho. Precisamos encontrar o campo elétrico E(r) para r<R e r>R e depois o potencial elétrico V(r) no interior da esfera, tomando V(infty)=0. Vamos usar simetria esférica, a Lei de Gauss e a relação V(r)=-integralinfty^r Ecdot d l.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Gauss em uma superfície esférica de raio r. A integral de fluxo oint Ecdot d A=E(r),4pi r^2 se iguala a Qint/varepsilon0.

Passo 3

Para r<R a carga interna é Qint=rho,(4pi r^3/3), o que leva a
E(r)=rho,r3varepsilon0hat r(r<R)
Para r>R utiliza-se a carga total Q=rho,(4pi R^3/3), resultando em
E(r)=rho,R^33varepsilon0,r^2hat r(r>R)

Passo 4

O potencial em função de r vem de V(r)=-integralinfty^r E(r'),dr'. Primeiro, para r>R:
V(r)=rho,R^33varepsilon0,r
Logo, em r=R temos V(R)=rho R^2/(3varepsilon0). Em seguida, para r<R, integra-se de R a r usando E(r')=rho r'/(3varepsilon0):
V(r)=V(R)-integralR^rrho,r'3varepsilon0dr'=rho,(3R^2-r^2)6varepsilon0(r<R)

Resposta

Para r<R:
E(r)=rho,r3varepsilon0hat r
Para r>R:
E(r)=rho,R^33varepsilon0,r^2hat r
Potencial no interior (r<R) com V(infty)=0:
V(r)=rho,(3R^2-r^2)6varepsilon0

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