As linhas de corrente de um escoamento bidimensional e incompressível são círculos concêntricos (de modo que vr=0 ). Determine a função corrente para
vtheta=A r, onde A é uma constante.

Passo 1

O enunciado fala de um escoamento bidimensional incompressível em coordenadas polares, cujas linhas de corrente são círculos concêntricos (logo vr=0). Queremos achar a função corrente psi(r,theta) para o caso
vtheta=A,r,
usando as definições
vr=1r,partialpsipartialtheta, vtheta=-partialpsipartial r

Passo 2

Como vr=0, temos
1r,partialpsipartialtheta=0 Longrightarrow partialpsipartialtheta=0,
o que significa que psi não depende de theta. Então psi=psi(r).

Passo 3

Agora usamos
vtheta=-dpsidr
e igualamos a Ar:
-dpsidr=A,r Longrightarrow dpsidr=-A,r
Integrando em r:
psi(r) = -Aintegral r,dr = -A2,r^2 + C,
onde C é constante de integração.

Resposta

Escolhendo C=0 (já que a função corrente tem liberdade aditiva), a função corrente fica
psi(r) = -A2,r^2

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