Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Seja
uma função contínua no aberto
tal que
para qualquer
. Prove que
. (Dica: Use
)
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma função contínua
satisfazendo
no aberto
. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita, que garante regularidade de soluções
de equações
quando
. Vamos aplicar isso definindo uma função
em
.
Passo 2
Definimos
e então consideramos
A hipótese do enunciado é exatamente
para todo
.
Passo 3
Observamos que
(e portanto
) é polinomial em
, logo
. Para usar o Teorema da Função Implícita, precisamos checar a derivada parcial
Passo 4
Avaliada em
, fica
Note que
e
. Se esse somatório fosse zero, então
e
, mas isso violaria
. Portanto
Passo 5
Pelo Teorema da Função Implícita em cada ponto
existe uma vizinhança onde a solução
de
é única e de classe
. Como essa solução coincide com
, concluímos que
é
em toda
.