Utilize o teorema das funções implícitas para provar as seguintes afirmações:
Seja f: Omega R uma função contínua no aberto Omega subset R^2 tal que (x^2+y^4) f(x, y)+f(x, y)^3=1 para qualquer (x, y) in Omega. Prove que f in C^infty. (Dica: Use h(x, y, z):=(x^2+y^4) z+z^3 )

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:OmegatoR satisfazendo
l(x^2+y^4r)f(x,y)+f(x,y)^3=1
no aberto OmegasubsetR^2. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita, que garante regularidade de soluções z=f(x,y) de equações H(x,y,z)=0 quando partial H/partial zneq0. Vamos aplicar isso definindo uma função H em R^3.

Passo 2

Definimos
h(x,y,z)=(x^2+y^4),z+z^3,
e então consideramos
H(x,y,z)=h(x,y,z)-1=(x^2+y^4)z+z^3-1
A hipótese do enunciado é exatamente
Hl(x,y,f(x,y)r)=0
para todo (x,y)inOmega.

Passo 3

Observamos que h (e portanto H) é polinomial em (x,y,z), logo Hin C^infty(R^3). Para usar o Teorema da Função Implícita, precisamos checar a derivada parcial
partial Hpartial z(x,y,z) =partialpartial zl((x^2+y^4)z+z^3-1r) =x^2+y^4+3z^2

Passo 4

Avaliada em z=f(x,y), fica
partial Hpartial zl(x,y,f(x,y)r) =x^2+y^4+3f(x,y)^2
Note que x^2+y^4>=0 e 3f(x,y)^2>=0. Se esse somatório fosse zero, então x=y=0 e f(x,y)=0, mas isso violaria H(0,0,0)=-1neq0. Portanto
partial Hpartial zl(x,y,f(x,y)r)>0 forall,(x,y)inOmega

Passo 5

Pelo Teorema da Função Implícita em cada ponto (x0,y0,f(x0,y0)) existe uma vizinhança onde a solução z de H(x,y,z)=0 é única e de classe C^infty. Como essa solução coincide com f, concluímos que f é C^infty em toda Omega.

Resposta

fin C^infty(Omega).

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