10.A reta tangente a uma hipérbole \mathcal{H} num ponto P \in \mathcal{H} é a única reta não paralela às assíntotas que intersecta \mathcal{H} só nesse ponto.
Mostre que a reta tangente à hipérbole \mathcal{H}: b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} ,em um ponto P=\left(x_{o}, y_{o}\right) sobre a curva,tem por equação
b^{2} x_{o} x-a^{2} y_{o} y=a^{2} b^{2}
Passo 1
O enunciado trata da hipérbole
\mathcal{H}:\;b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},
e pede a equação da reta tangente em um ponto P=(x_{0},y_{0}) que satisfaz \;b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}.
Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a inclinação y' da curva e, em seguida, a forma ponto-inclinação da reta tangente.