10.A reta tangente a uma hipérbole \mathcal{H} num ponto P \in \mathcal{H} é a única reta não paralela às assíntotas que intersecta \mathcal{H} só nesse ponto.
Mostre que a reta tangente à hipérbole \mathcal{H}: b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} ,em um ponto P=\left(x_{o}, y_{o}\right) sobre a curva,tem por equação
b^{2} x_{o} x-a^{2} y_{o} y=a^{2} b^{2}

Passo 1

O enunciado trata da hipérbole
\mathcal{H}:\;b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},
e pede a equação da reta tangente em um ponto P=(x_{0},y_{0}) que satisfaz \;b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}.
Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar a inclinação y' da curva e, em seguida, a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}
em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(b^{2}x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(a^{2}y^{2}\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2b^{2}x - 2a^{2}y\,y' = 0.
Logo, a derivada y'=\frac{dy}{dx} é
y'=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}.

Passo 3

No ponto P=(x_{0},y_{0}), a inclinação da tangente é
m \;=\; y'\bigl|_{(x_{0},y_{0})} \;=\;\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}.
A equação ponto-inclinação da reta tangente é
y - y_{0} \;=\; m\,(x - x_{0}) \;=\; \frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\,(x - x_{0}).

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por a^{2}y_{0} e reorganizando, temos
a^{2}y_{0}(y - y_{0}) = b^{2}x_{0}(x - x_{0}) \;\Longrightarrow\; a^{2}y_{0}y - a^{2}y_{0}^{2} = b^{2}x_{0}x - b^{2}x_{0}^{2}.
Passando os termos constantes para um lado, dá
b^{2}x_{0}x - a^{2}y_{0}y = b^{2}x_{0}^{2} - a^{2}y_{0}^{2}.
Como P pertence à hipérbole, b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}. Substituindo, obtemos
b^{2}x_{0}x - a^{2}y_{0}y = a^{2}b^{2}.

Resposta

A reta tangente em P=(x_{0},y_{0}) é
b^{2}x_{0}x - a^{2}y_{0}y = a^{2}b^{2}.

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