y^{\prime \prime}+4 y=e^{t} \delta(t-2) \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea com um impulso em t=2:
y''+4y = e^{t}\,\delta(t-2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo aqui é o uso da transformada de Laplace para equações com delta de Dirac, mais a propriedade do deslocamento no domínio de s (teorema do segundo deslocamento).

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), temos
\mathcal{L}\{y''\}(s)+4\,\mathcal{L}\{y\}(s) =\mathcal{L}\{e^{t}\,\delta(t-2)\}(s).
Como y(0)=0 e y'(0)=0,
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s).
Do lado direito,
\mathcal{L}\{e^{t}\,\delta(t-2)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{t}\,\delta(t-2)\,dt =e^{2}\,e^{-2s}.
Logo a equação transformada é
s^2Y(s)+4Y(s)=e^{2}e^{-2s}.

Passo 3

Fatore Y(s) e isole:
Y(s)\,\bigl(s^2+4\bigr)=e^{2}e^{-2s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{e^{2}e^{-2s}}{s^2+4}.

Passo 4

Reconhecemos que \displaystyle \frac{1}{s^2+4} é a transformada de
\frac{1}{2}\sin(2t),
e que o fator e^{-2s} corresponde à função deslocada \,H(t-2)\,f(t-2). Pelo teorema do segundo deslocamento,
y(t) =\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{2}e^{-2s}}{s^2+4}\Bigr\} =e^{2}\,H(t-2)\,\frac{1}{2}\sin\bigl(2(t-2)\bigr).

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<2,\\\ \dfrac{e^{2}}{2}\,\sin\bigl(2(t-2)\bigr), & t\ge2. \end{cases}

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