11.Determine os valores de m \in \mathbb{R} para os quais as retas da família r_{m}: y= m x-1 são tangentes à hipérbole \mathcal{H}: 4 x^{2}-9 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a família de retas
r_{m}: y = m x - 1
e a hipérbole
\mathcal{H}: 4x^{2} - 9y^{2} = 36.
Queremos os valores de m\in\mathbb{R} tais que a reta e a hipérbole tenham exatamente um ponto em comum, ou seja, que o sistema tenha solução única. Para isso, vamos substituir y da reta na equação da hipérbole e impor que o discriminante da equação resultante em x seja zero (condição de tangência).

Passo 2

Substituindo y = m x - 1 em 4x^{2} - 9y^{2} = 36, vem
4x^{2} - 9(\,m x - 1\,)^{2} = 36.
Expandindo,
4x^{2} - 9\bigl(m^{2}x^{2} - 2m x +1\bigr) = 36 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2} - 9m^{2}x^{2} +18m x -9 = 36.
Reorganizando em forma de equação quadrática em x:
(4 - 9m^{2})\,x^{2} + 18m\,x - 45 = 0.

Passo 3

Para que essa equação tenha uma única solução em x, o discriminante deve ser nulo:
\Delta = (18m)^{2} - 4\,(4 - 9m^{2})\,(-45) = 0.
Calculamos:
(18m)^{2} = 324m^{2}, \quad -4\,(4 - 9m^{2})(-45) = -4\cdot(-45)\,(4 - 9m^{2}) = 180\,(4 - 9m^{2}) = 720 - 1620m^{2}.
Logo,
\Delta = 324m^{2} + (720 - 1620m^{2}) = 720 - 1296m^{2} = 0.

Passo 4

Resolvendo 720 - 1296m^{2}=0:
1296m^{2} = 720 \quad\Longrightarrow\quad m^{2} = \frac{720}{1296} = \frac{5}{9} \quad\Longrightarrow\quad m = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}.

Resposta

m = \frac{\sqrt{5}}{3} \quad\text{ou}\quad m = -\frac{\sqrt{5}}{3}.

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