11.Determine os valores de
para os quais as retas da família
são tangentes à hipérbole
.
Passo 1
O enunciado dá a família de retas
e a hipérbole
Queremos os valores de
tais que a reta e a hipérbole tenham exatamente um ponto em comum, ou seja, que o sistema tenha solução única. Para isso, vamos substituir
da reta na equação da hipérbole e impor que o discriminante da equação resultante em
seja zero (condição de tangência).
Passo 2
Substituindo
em
, vem
Expandindo,
Reorganizando em forma de equação quadrática em
:
Passo 3
Para que essa equação tenha uma única solução em
, o discriminante deve ser nulo:
Calculamos:
Logo,
Passo 4
Resolvendo
: