Calcule cada integral:
\int \operatorname{cotg} 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{cotg}(4x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos usar a regra de substituição junto com a fórmula básica
\int \cot u\,du = \ln\bigl|\sin u\bigr| + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x \quad\Longrightarrow\quad du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \operatorname{cotg}(4x)\,dx = \int \cot u\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cot u\,du.

Passo 3

Usando a fórmula
\int \cot u\,du = \ln\bigl|\sin u\bigr| + C,
temos
\frac{1}{4}\int \cot u\,du = \frac{1}{4}\,\ln\bigl|\sin u\bigr| + C.
Voltando a x, u=4x, dá
\frac{1}{4}\ln\bigl|\sin(4x)\bigr| + C.

Resposta

\int \operatorname{cotg}(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\bigl|\sin(4x)\bigr| + C.

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